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2026학년도 수능 (수학 영역) (미적분)
0.0%
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Results by Question
1
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(9^{\dfrac{1}{4}} \times 3^{-\dfrac{1}{2}}\)의 값은?
\(1\)
Correct Answer
2
\(\sqrt{3}\)
3
\(3\)
4
\(3 \sqrt{3}\)
5
\(9\)
Explanation
\(9^{\dfrac{1}{4}} \times 3^{-\dfrac{1}{2}} = (3^2)^{\dfrac{1}{4}} \times 3^{-\dfrac{1}{2}} = 3^{\dfrac{1}{2}} \times 3^{-\dfrac{1}{2}} = 3^0 = 1\)
2
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x) = 3x^3 + 4x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?
1
\(7\)
2
\(9\)
3
\(11\)
\(13\)
Correct Answer
5
\(15\)
Explanation
\(f(x) = 3x^3 + 4x + 1\)에서 \(f'(x) = 9x^2 + 4\)이므로 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} (f(1+h) - f(1))/h = f'(1) = 9 + 4 = 13\)
3
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 (2 a_k - k) = 0\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
3
\(3\)
4
\(4\)
\(5\)
Correct Answer
Explanation
\(\displaystyle\sum_{k=1}^4 (2a_k - k) = 2 \displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^4 k = 2 \displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k - (4 \times 5)/2 = 2 \displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k - 10 = 0\)이므로 \(2 \displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k = 10\). 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 a_k = 5\)
4
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Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x) = \begin{cases} 3x - 2 \quad (x < 1) \\ x^2 - 3x + a \quad (x \geq 1) \end{cases}\) 이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
\(3\)
Correct Answer
4
\(4\)
5
\(5\)
Explanation
함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x) = f(1)\). \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^-} (3x-2) = 1\)이고 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^+} (x^2 - 3x + a) = -2 + a\), \(f(1) = -2 + a\). 따라서 \(1 = -2 + a\)이므로 \(a = 3\)
5
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Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x) = (x + 2)(2 x^2 - x - 2)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?
1
\(6\)
2
\(7\)
\(8\)
Correct Answer
4
\(9\)
5
\(10\)
Explanation
\(f(x) = (x+2)(2x^2 - x - 2)\)에서 곱의 미분법으로 \(f'(x) = (2x^2 - x - 2) + (x+2)(4x-1)\). 따라서 \(f'(1) = (2-1-2) + 3 \times 3 = -1 + 9 = 8\)
6
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Error Rate 100%
Wrong
\(1\)보다 큰 두 실수 \(a\), \(b\)가 \(\log_a b = 3\), \(\log_3 \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}\)을 만족시킬 때, \(\log_9 a b\)의 값은?
1
\(\dfrac{3}{8}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
Correct Answer
3
\(\dfrac{5}{8}\)
4
\(\dfrac{3}{4}\)
5
\(\dfrac{7}{8}\)
Explanation
\(\log_a b = 3\)이므로 \(b = a^3\). \(\log_3 \left(\dfrac{b}{a}\right) = \log_3 a^2 = 2 \log_3 a = \dfrac{1}{2}\)에서 \(\log_3 a = \dfrac{1}{4}\), \(\log_3 b = \dfrac{3}{4}\). 따라서 \(\log_9 (a b) = \log_{3^2} a^4 = \left(\dfrac{4}{2}\right) \log_3 a = 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)
7
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Error Rate 100%
Wrong
두 곡선 \(y = x^2 + 3\), \(y = -\dfrac{1}{5} x^2 + 3\)과 직선 \(x = 2\)로 둘러싸인 부분의 넓이는?
1
\(\dfrac{18}{5}\)
2
\(\dfrac{7}{2}\)
3
\(\dfrac{17}{5}\)
4
\(\dfrac{33}{10}\)
\(\dfrac{16}{5}\)
Correct Answer
Explanation
두 곡선 \(y = x^2 + 3\), \(y = -x^2/5 + 3\)은 점 \((0, 3)\)에서 접하고 \(x^2 + 3 \geq -x^2/5 + 3\)이므로 구하는 넓이는 \(\displaystyle\int_{0}^{2} ((x^2+3) - (-x^2/5 + 3)) d x = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{6}{5} x^2 d x = [\dfrac{2}{5} x^3]_0^2 = \dfrac{16}{5}\)
8
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Error Rate 100%
Wrong
\(\sin \theta + 3 \cos \theta = 0\)이고 \(\cos(\pi - \theta) > 0\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?
\(\dfrac{3 \sqrt{10}}{10}\)
Correct Answer
2
\(\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)
3
\(0\)
4
\(-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)
5
\(-\dfrac{3 \sqrt{10}}{10}\)
Explanation
\(\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta > 0\)이므로 \(\cos \theta < 0\). \(\sin \theta + 3 \cos \theta = 0\)에서 \(\sin \theta = -3 \cos \theta > 0\). \(\sin^2 \theta = 9 \cos^2 \theta = 9(1 - \sin^2 \theta)\)에서 \(10 \sin^2 \theta = 9\), \(\sin^2 \theta = \dfrac{9}{10}\). \(\sin \theta > 0\)이므로 \(\sin \theta = (3 \sqrt{10})/10\)
9
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Error Rate 100%
Wrong
양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 + 3 a x^2 - 9 a^2 x + 4\) 라 하자. 직선 \(y = 5\)가 곡선 \(y = f(x)\)에 접할 때, \(f(2)\)의 값은?
1
\(11\)
2
\(12\)
3
\(13\)
\(14\)
Correct Answer
5
\(15\)
Explanation
\(f'(x) = 3x^2 + 6 a x - 9 a^2 = 3(x + 3a)(x - a)\). \(a > 0\)이므로 \(x = -3a\)에서 극대, \(x = a\)에서 극소. \(f(0) = 4 < 5\)이고 \(y = 5\)가 곡선 \(y = f(x)\)에 접하므로 \(f(-3a) = 5\). \(f(-3a) = 27 a^3 + 4 = 5\)에서 \(a^3 = \dfrac{1}{27}\), \(a = \dfrac{1}{3}\). 따라서 \(f(x) = x^3 + x^2 - x + 4\)이므로 \(f(2) = 8 + 4 - 2 + 4 = 14\)
10
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
상수 \(a (a > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = a^x - 2\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(A\)를 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(B\), 곡선 \(y = a^x - 2\)의 점근선과 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{B C}\) 이고 삼각형 \(A O C\)의 넓이가 \(8\)일 때, \(a \times \overline{O B}\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)
1
\(2^{\dfrac{13}{6}}\)
2
\(2^{\dfrac{7}{3}}\)
\(2^{\dfrac{5}{2}}\)
Correct Answer
4
\(2^{\dfrac{8}{3}}\)
5
\(2^{\dfrac{17}{6}}\)
Explanation
\(a > 1\)일 때 곡선 \(y = a^x - 2\)의 점근선은 \(y = -2\). 점 \(A(p, q)\)에서 \(\overline{A B} = \overline{B C} = 2\)이므로 \(q = 2\), \(a^p = 4\), \(p = \log_a 4\). 삼각형 \(A O C\)의 넓이가 8이므로 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times \overline{O B} = 8\)에서 \(\overline{O B} = 4\). 즉 \(\log_a 4 = 4\), \(a^4 = 4\), \(a = \sqrt{2}\). 따라서 \(a \times \overline{O B} = \sqrt{2} \times 4 = 2^{\dfrac{5}{2}}\)
11
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Error Rate 100%
Wrong
시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)가 있다. 실수 \(k\)에 대하여 시각이 \(t (t \geq 0)\)일 때 점 \(P\)의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = t^2 - k t + 4\) 이다.
<보기>
에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[보기]
ㄱ. \(k = 0\)이면, 시각 \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 위치는 \(\dfrac{13}{3}\)이다.
ㄴ. \(k = 3\)이면, 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향이 한 번 바뀐다.
ㄷ. \(k = 5\)이면, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리는 \(3\)이다.
1
ㄱ
2
ㄱ, ㄴ
ㄱ, ㄷ
Correct Answer
4
ㄴ, ㄷ
5
ㄱ, ㄴ, ㄷ
Explanation
ㄱ. \(k = 0\)이면 \(v(t) = t^2 + 4\), \(t = 1\)일 때 위치는 \(\displaystyle\int_{0}^{1} (t^2 + 4) d t = \dfrac{1}{3} + 4 = \dfrac{13}{3}\) (참). ㄴ. \(k = 3\)이면 \(v(t) = \left(t - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4} > 0\)이므로 운동 방향이 바뀌지 않음 (거짓). ㄷ. \(k = 5\)이면 \(v(t) = (t-1)(t-4)\), \(0 < t < 1\)에서 \(v > 0\), \(1 < t < 2\)에서 \(v < 0\). \(s = \displaystyle\int_{0}^{1} (t^2 - 5t + 4) d t - \displaystyle\int_{1}^{2} (t^2 - 5t + 4) d t = \dfrac{11}{6} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{11}{3}\) (참). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ
12
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Error Rate 100%
Wrong
등비수열 \({a_n}\)이 \(2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_{10} = 6\) 을 만족시킬 때, \(a_{10}\)의 값은?
1
\(\dfrac{22}{7}\)
\(\dfrac{24}{7}\)
Correct Answer
3
\(\dfrac{26}{7}\)
4
\(\dfrac{30}{7}\)
5
\(\dfrac{32}{7}\)
Explanation
공비를 \(r\)이라 하면 \(2(a_1 + a_4 + a_7) = 2 a_1 (1 + r^3 + r^6) = 6\)에서 \(a_1(1 + r^3 + r^6) = 3\). \(a_4 + a_7 + a_{10} = a_1 r^3 (1 + r^3 + r^6) = 6\). 두 식을 비교하면 \(r^3 = 2\). \(a_1(1 + 2 + 4) = 3\)에서 \(a_1 = \dfrac{3}{7}\). 따라서 \(a_{10} = a_1 r^9 = \dfrac{3}{7} \times 8 = \dfrac{24}{7}\)
13
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Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x) = x^2 - 4x - 3\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, -6)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 함수 \(g(x) = (x^3 - 2x) f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((1, 6)\)에서의 접선을 \(m\)이라 하자. 두 직선 \(l\), \(m\)과 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
1
\(21\)
2
\(28\)
3
\(35\)
4
\(42\)
\(49\)
Correct Answer
Explanation
\(f'(x) = 2x - 4\)이므로 \(f'(1) = -2\). 점 \((1, -6)\)에서의 접선 \(l\): \(y = -2x - 4\). \(g'(x) = (3x^2 - 2)f(x) + (x^3 - 2x)f'(x)\)이므로 \(g'(1) = 1 \times (-6) + (-1) \times (-2) = -4\). 점 \((1, 6)\)에서의 접선 \(m\): \(y = -4x + 10\). 두 접선의 교점은 \(x = 7\)이므로 \(y\)축과 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49\)
14
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Error Rate 100%
Wrong
그림과 같이 \(\overline{A B} = 3\), \(\overline{B C} = 4\)이고 \(\angle B = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A B\)를 \(2:1\)로 내분하는 점을 \(D\), 점 \(A\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(\overline{A D}\)인 원이 선분 \(A C\)와 만나는 점을 \(E\), 직선 \(A B\)가 이 원과 만나는 점 중 \(D\)가 아닌 점을 \(F\)라 하고, 호 \(E F\) 위의 점 \(G\)를 \(\overline{C G} = 2 \sqrt{6}\)이 되도록 잡는다. 세 점 \(C\), \(E\), \(G\)를 지나는 원 위의 점 \(H\)가 \(\angle H C G = \angle B A C\)를 만족시킬 때, 선분 \(G H\)의 길이는?
1
\(\dfrac{6 \sqrt{15}}{5}\)
2
\(\dfrac{38 \sqrt{10}}{25}\)
3
\(\dfrac{14 \sqrt{3}}{5}\)
\(\dfrac{32 \sqrt{15}}{25}\)
Correct Answer
5
\(\dfrac{8 \sqrt{10}}{5}\)
Explanation
직각삼각형 \(A B C\)에서 \(\overline{A C} = 5\), \(\sin \theta_1 = \dfrac{4}{5}\). \(\overline{A D} = \overline{A E} = \overline{A G} = 2\). 삼각형 \(A C G\)에서 코사인법칙: \(\cos \theta_2 = \dfrac{4 + 25 - 24}{2 \times 2 \times 5} = \dfrac{1}{4}\). 삼각형 \(A E G\)에서 \(\overline{G E}^2 = 4 + 4 - 2 \times 2 \times 2 \times \dfrac{1}{4} = 6\), \(\overline{G E} = \sqrt{6}\). 삼각형 \(C G E\)에서 \(\cos \theta_3 = \dfrac{24 + 9 - 6}{12 \sqrt{6}} = (3 \sqrt{6})/8\), \(\sin \theta_3 = \dfrac{\sqrt{10}}{8}\). 외접원 반지름 \(2R = \dfrac{\sqrt{6}}{\dfrac{\sqrt{10}}{8}} = (8 \sqrt{15})/5\). 따라서 \(\overline{G H} = 2R \sin \theta_1 = (8 \sqrt{15})/5 \times \dfrac{4}{5} = (32 \sqrt{15})/25\)
15
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Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 \quad (x < 0) \\ x^2 - x \quad (x \geq 0) \end{cases}\) 이고, 양수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} a x + a \quad (x < -1) \\ 0 \quad (-1 \leq x < 1) \\ a x - a \quad (x \geq 1) \end{cases}\) 이라 하자. 함수 \(h(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) d t\)가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 \(a\)의 최댓값을 \(k\)라 하자. \(a = k\)일 때, \(k + h(3)\)의 값은?
1
\(\dfrac{9}{2}\)
2
\(\dfrac{11}{2}\)
3
\(\dfrac{13}{2}\)
\(\dfrac{15}{2}\)
Correct Answer
5
\(\dfrac{17}{2}\)
Explanation
\(h'(x) = g(x) - f(x)\). \(h(x)\)가 오직 하나의 극값을 가지려면 \(f(x) = g(x)\)이고 부호가 바뀌는 점이 하나만 있어야 함. \(a \leq 1\)이면 조건 만족. \(a > 1\)이면 \(x < -1\)에서 \(f(x) > g(x)\)인 구간이 없어야 하므로 \(y = -x^2\)과 직선 \(y = a x + a\)가 접해야 함. 접점 \((t, -t^2)\)에서 접선이 \((-1, 0)\)을 지나면 \(t = -2\). 따라서 \(a\)의 최댓값은 \(-2t = 4\), \(k = 4\). \(h(3) = \displaystyle\int_{0}^{1} (-t^2 + t) d t + \displaystyle\int_{1}^{3} (-t^2 + 5t - 4) d t = \dfrac{1}{6} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{2}\). 따라서 \(k + h(3) = 4 + \dfrac{7}{2} = \dfrac{15}{2}\)
16
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Error Rate 100%
Wrong
수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = 1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = n^2 a_n + 1\) 을 만족시킨다. \(a_3\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
9
Explanation
\(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = n^2 a_n + 1\). \(a_2 = 1 \times 1 + 1 = 2\). \(a_3 = 4 \times 2 + 1 = 9\)
17
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Error Rate 100%
Wrong
함수 \(f(x) = 4 x^3 - 2 x\)의 한 부정적분 \(F(x)\)에 대하여 \(F(0) = 4\)일 때, \(F(2)\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
16
Explanation
\(F(x) = \int (4x^3 - 2x) d x = x^4 - x^2 + C\). \(F(0) = 4\)이므로 \(C = 4\). 따라서 \(F(2) = 16 - 4 + 4 = 16\)
18
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Error Rate 100%
Wrong
\(\overline{A B} = 5\), \(\overline{A C} = 6\)이고 \(\cos(\angle B A C) = -\dfrac{3}{5}\)인 삼각형 \(A B C\)의 넓이를 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
12
Explanation
\(\cos(\angle B A C) = -\dfrac{3}{5}\), \(\sin(\angle B A C) > 0\)이므로 \(\sin(\angle B A C) = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}\). 삼각형 \(A B C\)의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \dfrac{4}{5} = 12\)
19
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Error Rate 100%
Wrong
\(-2 \leq x \leq 2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(-k \leq 2 x^3 + 3 x^2 - 12 x - 8 \leq k\) 가 성립하도록 하는 양수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
15
Explanation
\(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 8\), \(f'(x) = 6(x+2)(x-1)\). \(x = -2\)에서 극댓값 \(f(-2) = 12\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(f(1) = -15\). \(f(2) = -4\)이므로 \(-2 \leq x \leq 2\)에서 \(-15 \leq f(x) \leq 12\). 따라서 \(|f(x)| \leq k\)인 양수 \(k\)의 최솟값은 15
20
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Error Rate 100%
Wrong
수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
\(bullet\) \(a_1 = 7\)
\(bullet\) \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10\) 이다.
다음은 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2 k + 1}\)의 값을 구하는 과정이다.
\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)이므로 \(a_{n+1} = \dfrac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + (가)\) 이고, 이 식을 정리하면 \(2 a_n + a_{n+1} = 3 \times (가)\) 이다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{6} n^2 - \dfrac{1}{6} n + 10 (n \geq 2)\)에서 양변에 \(n = 2\)를 대입하면 \(a_2 = (나)\) 이다. 이에 의하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2 k + 1} = a_1 + a_2 + \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_{2 k + 1} + a_{2 k + 2}) = (다)\) 이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때, \(\dfrac{p \times q}{f(12)}\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
130
Explanation
\(a_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)로부터 \(2 a_n + a_{n+1} = n\). \(n = 2\) 대입: \(a_1 + \dfrac{a_2}{3} = \dfrac{31}{3}\), \(a_1 = 7\)이므로 \(a_2 = 10\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^5 a_{2k+1} = a_1 + a_2 + \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_{2k+1} + a_{2k+2}) = 7 + 10 + \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2k+1) = 17 + 35 = 52\). \(f(n) = \dfrac{n}{3}\), \(p = 10\), \(q = 52\)이므로 \((p \times q)/f(12) = \dfrac{520}{4} = 130\)
21
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} -f(x) \quad (x < t) \\ f(x) \quad (x \geq t) \end{cases}\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a+} \dfrac{g(x)}{x(x - 2)}\)의 값이 존재한다.
(나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow m+} \dfrac{g(x)}{x(x - 2)}\)의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 집합은 \({g(-1), -\dfrac{7}{2} g(1)}\)이다.
\(g(-5)\)의 값을 구하시오. (단, \(g(-1) \neq -\dfrac{7}{2} g(1)\))
(No answer submitted)
Answer
65
Explanation
\(g(x)\)가 연속이려면 \(f(t) = 0\). 조건 (가)에서 \(f(0) = f(2) = 0\)이므로 \(f(x) = \alpha x(x-2)(x-k)\). 조건 (나) 분석으로 \(t = 2\), \(3 < k \leq 4\). \(g(-1) = 3 \alpha (k+1)\), \(g(1) = -\alpha (k-1)\)이고 \(g(-1) = 3\), \(-\dfrac{7}{2} g(1) = 2\)인 경우 \(k = \dfrac{11}{3}\), \(\alpha = \dfrac{3}{14}\). 따라서 \(g(-5) = -\dfrac{3}{14} \times (-5) \times (-7) \times \left(-\dfrac{26}{3}\right) = 65\)
22
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
곡선 \(y = \log_{16} (8x + 2)\) 위의 점 \(A(a, b)\)와 곡선 \(y = 4^{x - 1} - \dfrac{1}{2}\) 위의 점 \(B\)가 제1사분면에 있다. 점 \(A\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점이 직선 \(O B\) 위에 있고 선분 \(A B\)의 중점의 좌표가 \(\left(\dfrac{77}{8}, \dfrac{133}{8}\right)\)일 때, \(a \times b = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)
(No answer submitted)
Answer
457
Explanation
\(y = \log_{16}(8x + 2)\)에서 \(16^y = 8x + 2\), \(y = 4^{x-1} - \dfrac{1}{2}\)에서 \(4^x = 4y + 2\). 두 곡선은 \(y\) 대신 \(\dfrac{x}{2}\), \(x\) 대신 \(\dfrac{y}{2}\) 대입 관계. 점 \(A(a,b)\)를 \(y=x\) 대칭이동한 점 \((b, a)\)가 직선 \(O B\) 위에 있고 \(B(c, d)\)에서 \(d = 2a\), \(c = 2b\). 중점 좌표 \(\left(\dfrac{77}{8}, \dfrac{133}{8}\right)\)에서 \(a + 2b = \dfrac{77}{4}\), \(2a + b = \dfrac{133}{4}\)이므로 \(a = \dfrac{63}{4}\), \(b = \dfrac{7}{4}\). \(a \times b = \dfrac{441}{16}\). \(p = 16\), \(q = 441\)이므로 \(p + q = 457\)
23
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Wrong
\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan 6x}{2 x}\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
\(3\)
Correct Answer
4
\(4\)
5
\(5\)
Explanation
\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan 6x}{2x} = 3 \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan 6x}{6x} = 3 \times 1 = 3\)
24
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Wrong
\(\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x - \sin^3 x} d x\)의 값은?
1
\(\dfrac{1}{6}\)
2
\(\dfrac{1}{3}\)
3
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{2}{3}\)
Correct Answer
5
\(\dfrac{5}{6}\)
Explanation
\(\sin x - \sin^3 x = \sin x \cos^2 x\). \(\sin x = t\)로 치환하면 \(\cos x d x = d t\). \(\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x \cos^2 x} d x = \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x} \cos x d x = \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{t} d t = [\dfrac{2}{3} t^{\dfrac{3}{2}}]_0^1 = \dfrac{2}{3}\)
25
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수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sqrt{9 n^2 - 5} + 2 n < a_n < 5 n + 1\) 을 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(a_n + 2)^2}{n a_n + 5 n^2 - 2}\)의 값은?
1
\(\dfrac{1}{2}\)
2
\(\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{5}{2}\)
Correct Answer
4
\(\dfrac{7}{2}\)
5
\(\dfrac{9}{2}\)
Explanation
\(\sqrt{9n^2 - 5} + 2n < a_n < 5n + 1\)에서 \(n\)으로 나누면 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{9n^2 - 5} + 2n)/n = 5\), \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (5n + 1)/n = 5\). 대소관계로 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a_n}{n} = 5\). 따라서 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(a_n + 2)^2}{n a_n + 5n^2 - 2} = \dfrac{(5+0)^2}{5 + 5 - 0} = \dfrac{25}{10} = \dfrac{5}{2}\)
26
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그림과 같이 곡선 \(y = \sqrt{x + x \ln x}\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 1\), \(x = 2\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?
\(\dfrac{\sqrt{3} (3 + 8 \ln 2)}{16}\)
Correct Answer
2
\(\dfrac{\sqrt{3} (5 + 12 \ln 2)}{24}\)
3
\(\dfrac{\sqrt{3} (1 + 12 \ln 2)}{16}\)
4
\(\dfrac{\sqrt{3} (1 + 2 \ln 2)}{4}\)
5
\(\dfrac{\sqrt{3} (1 + 9 \ln 2)}{12}\)
Explanation
입체도형의 부피 \(= \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{x + x \ln x})^2 d x = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \displaystyle\int_{1}^{2} x(1 + \ln x) d x\). 부분적분으로 \(\displaystyle\int_{1}^{2} x(1 + \ln x) d x = [x^2/2 (1 + \ln x)]_1^2 - \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x}{2} d x = (2(1 + \ln 2)) - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = (3 + 8 \ln 2)/4\). 따라서 부피 \(= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (3 + 8 \ln 2)/4 = (\sqrt{3}(3 + 8 \ln 2))/16\)
27
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매개변수 \(t\)로 나타내어진 곡선 \(x = e^{4 t} (1 + \sin^2 \pi t)\), \(y = e^{4 t} (1 - 3 \cos^2 \pi t)\) 를 \(C\)라 하자. 곡선 \(C\)가 직선 \(y = 3 x - 5 e\)와 만나는 점을 \(P\)라 할 때, 곡선 \(C\) 위의 점 \(P\)에서의 접선의 기울기는?
1
\(\dfrac{3 \pi - 4}{\pi + 4}\)
\(\dfrac{3 \pi - 2}{\pi + 6}\)
Correct Answer
3
\(\dfrac{3 \pi}{\pi + 8}\)
4
\(\dfrac{3 \pi + 2}{\pi + 10}\)
5
\(\dfrac{3 \pi + 4}{\pi + 12}\)
Explanation
\(y = 3x - 5e\)에 대입하면 \(e^{4t}(-2 - 3) = -5e\)에서 \(e^{4t} = e\), \(t = \dfrac{1}{4}\). \(\dfrac{d x}{d t} = e^{4t}(4 + 4 \sin^2 \pi t + 2 \pi \sin \pi t \cos \pi t)\), \(\dfrac{d y}{d t} = e^{4t}(4 - 12 \cos^2 \pi t + 6 \pi \cos \pi t \sin \pi t)\). \(t = \dfrac{1}{4}\) 대입: 분자 \(= 4 - 6 + 3 \pi = 3 \pi - 2\), 분모 \(= 4 + 2 + \pi = \pi + 6\). 따라서 접선 기울기 \(= \dfrac{3 \pi - 2}{\pi + 6}\)
28
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함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} x^2 - x + \ln(1 + x)\) 와 양수 \(t\)에 대하여 점 \((s, f(s)) (s > 0)\)에서 \(y\)축에 내린 수선의 발과 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((s, f(s))\)에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점 사이의 거리가 \(t\)가 되도록 하는 \(s\)의 값을 \(g(t)\)라 하자. \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} g(t) d t\)의 값은?
1
\(\dfrac{161}{12} + \ln 3\)
2
\(\dfrac{40}{3} + \ln 3\)
3
\(\dfrac{53}{4} + \ln 2\)
4
\(\dfrac{79}{6} + \ln 2\)
\(\dfrac{157}{12} + \ln 2\)
Correct Answer
Explanation
\(f'(x) = x^2/(x+1)\)이므로 \(H I = s^3/(s+1) = t\). 부분적분으로 \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} g(t) d t = [t g(t)]_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} - \displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} t g'(t) d t\). \(t = \dfrac{1}{2}\)일 때 \(s = 1\), \(t = \dfrac{27}{4}\)일 때 \(s = 3\). \([t g(t)]_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} = \dfrac{27}{4} \times 3 - \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{79}{4}\). \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} t g'(t) d t = \displaystyle\int_{1}^{3} s^3/(s+1) d s = \displaystyle\int_{1}^{3} (s^2 - s + 1 - 1/(s+1)) d s = \dfrac{20}{3} - \ln 2\). 따라서 \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{27}{4}} g(t) d t = \dfrac{79}{4} - \left(\dfrac{20}{3} - \ln 2\right) = \dfrac{157}{12} + \ln 2\)
29
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첫째항과 공차가 같은 등차수열 \({a_n}\)과 등비수열 \({b_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
어떤 자연수 \(k\)에 대하여 \(b_{k + i} = \dfrac{1}{a_i} - 1 (i = 1, 2, 3)\) 이다.
부등식 \(0 < \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(b_n - \dfrac{1}{a_n a_{n + 1}}\right) < 30\) 이 성립할 때, \(a_2 \times \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{2 n} = \dfrac{q}{p}\) 이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(a_1 \neq 0\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)
(No answer submitted)
Answer
97
Explanation
\(a_n = n d\). \(b_{k+1} = \dfrac{1}{d} - 1\), \(b_{k+2} = 1/(2d) - 1\), \(b_{k+3} = 1/(3d) - 1\). 등비수열 조건 \((1/(2d) - 1)^2 = \left(\dfrac{1}{d} - 1\right)(1/(3d) - 1)\)에서 \(d = \dfrac{1}{4}\). 따라서 \(b_{k+1} = 3\), 공비 \(\dfrac{1}{3}\), \(b_1\)은 3의 거듭제곱. \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n = 3 \dfrac{b_1}{2}\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1/(a_n a_{n+1}) = 16\). \(0 < \dfrac{3b_1}{2} - 16 < 30\)에서 \(\dfrac{32}{3} < b_1 < \dfrac{92}{3}\)이므로 \(b_1 = 27\). \(b_2 = 9\), 수열 \({b_{2n}}\)의 공비 \(\dfrac{1}{9}\). \(a_2 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{2n} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{81}{8} = \dfrac{81}{16}\). \(p = 16\), \(q = 81\)이므로 \(p + q = 97\)
30
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실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 \(f(x)\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(|x| \leq 1\)일 때, \(4 \times (f^{-1}(x))^2 = x^2 (x^2 - 5)^2\) 이다.
(나) \(|x| > 1\)일 때, \(|f^{-1}(x)| = e^{|x| - 1} + 1\) 이다.
실수 \(m\)에 대하여 기울기가 \(m\)이고 점 \((1, 0)\)을 지나는 직선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점의 개수를 \(g(m)\)이라 하자. 함수 \(g(m)\)이 \(m = a\), \(m = b (a < b)\)에서 불연속일 때, \(g(a) \times (\operatorname*{lim}\limits_{m \rightarrow a+} g(m)) + g(b) \times \left(\dfrac{\ln b}{b}\right)^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\))
(No answer submitted)
Answer
11
Explanation
역함수 분석: \(|x| \leq 1\)에서 \(f^{-1}(x) = -\dfrac{x}{2}(x^2 - 5)\), \(x > 1\)에서 \(f^{-1}(x) = e^{x-1} + 1\), \(x < -1\)에서 \(f^{-1}(x) = -(e^{-x-1} + 1)\). 점 \((0, 1)\)에서 곡선에 접하는 직선 \(l\)의 기울기 \(= 1\) (접점 \(\alpha = 1\)). 점 \((0, 1)\)에서 곡선 \(y = -e^{-x-1} - 1\)에 접하는 직선 \(m\): \((\beta + 1) e^{-(\beta+1)} = -2\). 직선 \(l\), \(m\)을 \(y = x\) 대칭이동한 직선 \(l'\), \(m'\)의 기울기는 1, \(e^{\beta+1}\). \(g(m) = 1\) \((m \leq 0)\), \(3\) \((0 < m < e^{\beta+1})\), \(2\) \((m = e^{\beta+1})\), \(1\) \((m > e^{\beta+1})\). 불연속점 \(a = 0\), \(b = e^{\beta+1}\). \(\ln \dfrac{b}{b} = (\beta+1)/e^{\beta+1} = -2\). 따라서 \(g(a) \times \operatorname*{lim}\limits_{m \rightarrow a^+} g(m) + g(b) \times \left(\ln \dfrac{b}{b}\right)^2 = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 11\)