2023년 7월 고3 학력평가 (미적분)

\(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} 2n(\sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+1})\)의 값은?

함수 \(f(x) = \ln(x^2 - x + 2)\)와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 \(h(x)\)를 \(h(x) = f(g(x))\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{g(x)-4}{x-2} = 12\)일 때, \(h'(2)\)의 값은?

곡선 \(2e^{x+y-1} = 3e^x + x - y\) 위의 점 \((0, 1)\)에서의 접선의 기울기는?

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 \(\displaystyle\int_{1}^{2} (x-1) f'\left(\dfrac{x}{2}\right) d x = 2\)를 만족시킨다. \(f(1) = 4\)일 때, \(\displaystyle\int_{\dfrac{1}{2}}^1 f(x) d x\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A B_1} = \overline{A C_1} = \sqrt{17}\), \(\overline{B_1 C_1} = 2\)인 삼각형 \(A B_1 C_1\)이 있다. 선분 \(A B_1\) 위의 점 \(B_2\), 선분 \(A C_1\) 위의 점 \(C_2\), 삼각형 \(A B_1 C_1\)의 내부의 점 \(D_1\)을 \(\overline{B_1 D_1} = \overline{B_2 D_1} = \overline{C_1 D_1} = \overline{C_2 D_1}\), \(\angle B_1 D_1 B_2 = \angle C_1 D_1 C_2 = \dfrac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 두 삼각형 \(B_1 D_1 B_2\), \(C_1 D_1 C_2\)에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(A B_2\) 위의 점 \(B_3\), 선분 \(A C_2\) 위의 점 \(C_3\), 삼각형 \(A B_2 C_2\)의 내부의 점 \(D_2\)를 \(\overline{B_2 D_2} = \overline{B_3 D_2} = \overline{C_2 D_2} = \overline{C_3 D_2}\), \(\angle B_2 D_2 B_3 = \angle C_2 D_2 C_3 = \dfrac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 두 삼각형 \(B_2 D_2 B_3\), \(C_2 D_2 C_3\)에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

그림과 같이 중심이 \(O\)이고 길이가 \(2\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 \(P\)를 \(\angle P A B = \theta\)가 되도록 잡고, 점 \(P\)를 포함하지 않는 호 \(A B\) 위에 점 \(Q\)를 \(\angle Q A B = 2 \theta\)가 되도록 잡는다. 직선 \(O Q\)가 원과 만나는 점 중 \(Q\)가 아닌 점을 \(R\), 두 선분 \(P A\)와 \(Q R\)가 만나는 점을 \(S\)라 하자. 삼각형 \(B O Q\)의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(P R S\)의 넓이를 \(g(\theta)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{f(\theta)}\)의 값은? (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{6}\))

함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x < 1\)일 때, \(f'(x) = -2x + 4\)이다. (나) \(x \geq 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x^2 + 1) = a e^{2x} + b x\)이다. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) \(\displaystyle\int_{0}^{5} f(x) d x = p e^4 - q\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.)

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \sin |\pi f(x)|\)라 하자. 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 점의 \(x\)좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(a_n\)이라 하자. 함수 \(g(x)\)와 자연수 \(m\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = a_4\)와 \(x = a_8\)에서 극대이다. (나) \(f(a_m) = f(0)\) \(f(a_k) \leq f(m)\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.