2023년 4월 고3 학력평가

\(\log_6 4 + \dfrac{2}{\log_3 6}\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1 = 3\), \(\dfrac{a_5}{a_3} = 4\)일 때, \(a_4\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = 2x^3 - 6x + a\)의 극솟값이 \(2\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(0\)이 아닌 모든 실수 \(h\)에 대하여 다항함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(1\)에서 \(1+h\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(h^2 + 2h + 3\)일 때, \(f'(1)\)의 값은?

함수 \(y = \log_{\dfrac{1}{2}} (x - a) + b\)가 닫힌구간 \([2, 5]\)에서 최댓값 \(3\), 최솟값 \(1\)을 갖는다. \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, f(0))\)에서의 접선의 방정식이 \(y = 3x - 1\)이다. 함수 \(g(x) = (x + 2) f(x)\)에 대하여 \(g'(0)\)의 값은?

그림과 같이 함수 \(y = a \tan b \pi x\)의 그래프가 두 점 \((2, 3)\), \((8, 3)\)을 지날 때, \(a^2 \times b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 양수이다.)

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이고 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = 1\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

상수 \(a (a > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = a^x - 1\)과 곡선 \(y = \log_a (x + 1)\)이 원점 \(O\)를 포함한 서로 다른 두 점에서 만난다. 이 두 점 중 \(O\)가 아닌 점을 \(P\)라 하고, 점 \(P\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 삼각형 \(O H P\)의 넓이가 \(2\)일 때, \(a\)의 값은?

\(0 \leq x \leq 2 \pi\)일 때, 방정식 \(2 \sin^2 x - 3 \cos x = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이다. 이 세 실근 중 가장 큰 실근을 \(\alpha\)라 할 때, \(k \times \alpha\)의 값은? (단, \(k\)는 상수이다.)

그림과 같이 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x + 1\)의 그래프와 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 점 \(A(0, 1)\), 점 \(B(k, f(k))\)에서 만나고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(B\)에서의 접선이 점 \(A\)를 지난다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(A B\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_1\), 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(A B\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\)라 하자. \(S_1 = S_2\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{k} g(x) d x\)의 값은? (단, \(k\)는 양수이다.)

그림과 같이 닫힌구간 \([0, 2 \pi]\)에서 정의된 두 함수 \(f(x) = k \sin x\), \(g(x) = \cos x\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 곡선 \(y = g(x)\)가 만나는 서로 다른 두 점을 \(A\), \(B\)라 하자. 선분 \(A B\)를 \(3 : 1\)로 외분하는 점을 \(C\)라 할 때, 점 \(C\)는 곡선 \(y = f(x)\) 위에 있다. 점 \(C\)를 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 곡선 \(y = g(x)\)와 만나는 점을 \(D\)라 할 때, 삼각형 \(B C D\)의 넓이는? (단, \(k\)는 양수이고, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

양의 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 - 3 t^2 x\)라 할 때, 닫힌구간 \([-2, 1]\)에서 두 함수 \(f(x)\), \(|f(x)|\)의 최댓값을 각각 \(M_1(t)\), \(M_2(t)\)라 하자. 함수 \(g(t) = M_1(t) + M_2(t)\)에 대하여 <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(2) = 32\) ㄴ. \(g(t) = 2 f(-t)\)를 만족시키는 \(t\)의 최댓값과 최솟값의 합은 \(3\)이다. ㄷ. \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0+} \dfrac{g\left(\dfrac{1}{2} + h\right) - g\left(\dfrac{1}{2}\right)}{h} - \operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0-} \dfrac{g\left(\dfrac{1}{2} + h\right) - g\left(\dfrac{1}{2}\right)}{h} = 5\)

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(\log_2 \dfrac{M}{m}\)의 값은? (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} 2^{n-2} & \quad \text{if } a_n < 1 \\ \log_2 a_n & \quad \text{if } a_n \geq 1 \end{cases}\)이다. (나) \(a_5 + a_6 = 1\)

\(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}\)의 값을 구하시오.

함수 \(y = 4^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(a\)만큼 평행이동한 그래프가 점 \(\left(\dfrac{3}{2}, 5\right)\)를 지날 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x f(x) - 2x^3 + 1}{x^2} = 5\), \(f(0) = 1\)을 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t (t > 0)\)에서의 위치 \(x(t)\)가 \(x(t) = \dfrac{3}{2} t^4 - 8 t^3 + 15 t^2 - 12 t\)이다. 점 \(P\)의 운동 방향이 바뀌는 순간 점 \(P\)의 가속도를 구하시오.

등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_n\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(a_{13}\)의 값을 구하시오. (가) \(S_n\)은 \(n = 7\), \(n = 8\)에서 최솟값을 갖는다. (나) \(|S_m| = |S_{2m}| = 162\)인 자연수 \(m (m > 8)\)이 존재한다.

좌표평면 위의 두 점 \(O(0, 0)\), \(A(2, 0)\)과 \(y\)좌표가 양수인 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overline{A P} = \overline{A Q} = 2 \sqrt{15}\)이고 \(\overline{O P} > \overline{O Q}\)이다. (나) \(\cos(\angle O P A) = \cos(\angle O Q A) = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\) 사각형 \(O A P Q\)의 넓이가 \(\dfrac{q}{p} \sqrt{15}\)일 때, \(p \times q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

두 상수 \(a\), \(b (b \neq 1)\)과 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 \(g'(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) \(|x| < 2\)일 때, \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (-t + a) d t\)이고 \(|x| \geq 2\)일 때, \(|g'(x)| = f(x)\)이다. (다) 함수 \(g(x)\)는 \(x = 1\), \(x = b\)에서 극값을 갖는다. \(g(k) = 0\)을 만족시키는 모든 실수 \(k\)의 값의 합이 \(p + q \sqrt{3}\)일 때, \(p \times q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 유리수이다.)

\(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - \sqrt{4n^2 + 1})\)의 값은?

함수 \(f(x) = e^x (2 \sin x + \cos x)\)에 대하여 \(f'(0)\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \dfrac{2^{n+1}}{2^n + 1}\right)\)이 수렴할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac{2^n \times a_n + 5 \times 2^{n+1}}{2^n + 3}\)의 값은?

두 함수 \(f(x) = a^x\), \(g(x) = 2 \log_b x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow e} \dfrac{f(x) - g(x)}{x - e} = 0\)일 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 \(1\)보다 큰 상수이다.)

그림과 같이 좌표평면 위에 점 \(A(0, 1)\)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(1\)인 원 \(C\)가 있다. 원점 \(O\)를 지나고 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 \(\theta\)인 직선이 원 \(C\)와 만나는 점 중 \(O\)가 아닌 점을 \(P\)라 하고, 호 \(O P\) 위에 점 \(Q\)를 \(\angle O P Q = \dfrac{\theta}{3}\)가 되도록 잡는다. 삼각형 \(P O Q\)의 넓이를 \(f(\theta)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta\rightarrow 0^+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}\)의 값은? (단, 점 \(Q\)는 제1사분면 위의 점이고, \(0 < \theta < \pi\)이다.)

그림과 같이 \(\overline{A B_1} = 2\), \(\overline{B_1 C_1} = \sqrt{3}\), \(\overline{C_1 D_1} = 1\)이고 \(\angle C_1 B_1 A = \dfrac{\pi}{2}\)인 사다리꼴 \(A B_1 C_1 D_1\)이 있다. 세 점 \(A\), \(B_1\), \(D_1\)을 지나는 원이 선분 \(B_1 C_1\)과 만나는 점 중 \(B_1\)이 아닌 점을 \(E_1\)이라 할 때, 두 선분 \(C_1 D_1\), \(C_1 E_1\)과 호 \(E_1 D_1\)로 둘러싸인 부분과 선분 \(B_1 E_1\)과 호 \(B_1 E_1\)로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(A B_1\) 위의 점 \(B_2\), 호 \(E_1 D_1\) 위의 점 \(C_2\), 선분 \(A D_1\) 위의 점 \(D_2\)와 점 \(A\)를 꼭짓점으로 하고 \(\overline{B_2 C_2} : \overline{C_2 D_2} = \sqrt{3} : 1\)이고 \(\angle C_2 B_2 A = \dfrac{\pi}{2}\)인 사다리꼴 \(A B_2 C_2 D_2\)를 그린다. 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 점 \(E_2\)를 잡고, 사다리꼴 \(A B_2 C_2 D_2\)에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

그림과 같이 중심이 \(O\), 반지름의 길이가 \(8\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)인 부채꼴 \(O A B\)가 있다. 호 \(A B\) 위의 점 \(C\)에 대하여 점 \(B\)에서 선분 \(O C\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 하고, 두 선분 \(B D\), \(C D\)와 호 \(B C\)에 동시에 접하는 원을 \(C\)라 하자. 점 \(O\)에서 원 \(C\)에 그은 접선 중 점 \(C\)를 지나지 않는 직선이 호 \(A B\)와 만나는 점을 \(E\)라 할 때, \(\cos(\angle C O E) = \dfrac{7}{25}\)이다. \(\sin(\angle A O E) = p + q \sqrt{7}\)일 때, \(200 \times (p + q)\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 유리수이고, 점 \(C\)는 점 \(B\)가 아니다.)

\(x \geq 0\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x) = \begin{cases} 2^x - 1 & \quad \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^x - 1 & \quad \text{if } 1 < x \leq 2 \end{cases}\) (나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = -\dfrac{1}{2} f(x)\)이다. \(x > 0\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \operatorname*{lim}\limits_{h\rightarrow 0^+} \dfrac{f(x + h) - f(x - h)}{h}\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 0^+} {g(n + t) - g(n - t)} + 2 g(n) = \dfrac{\ln 2}{2^{24}}\)를 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 \(A B C D\)에서 두 선분 \(A D\), \(C D\)의 중점을 각각 \(M\), \(N\)이라 할 때, \(|\overrightarrow{B M} + \overrightarrow{D N}|\)의 값은?

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{8} = 1\)의 한 점근선의 방정식이 \(y = \sqrt{2} x\)일 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? (단, \(a\)는 양수이다.)

그림과 같이 타원 \(\dfrac{x^2}{40} + \dfrac{y^2}{15} = 1\)의 두 초점 중 \(x\)좌표가 양수인 점을 \(F\)라 하고, 타원 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{O F} = \overline{F Q}\)일 때, 삼각형 \(P O Q\)의 넓이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

두 초점이 \(F(3 \sqrt{3}, 0)\), \(F'(-3 \sqrt{3}, 0)\)인 쌍곡선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)에 대하여 직선 \(P F'\)이 \(y\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 삼각형 \(P Q F\)가 정삼각형일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는?

그림과 같이 두 점 \(F(5, 0)\), \(F'(-5, 0)\)을 초점으로 하는 타원이 \(x\)축과 만나는 점 중 \(x\)좌표가 양수인 점을 \(A\)라 하자. 점 \(F\)를 중심으로 하고 점 \(A\)를 지나는 원을 \(C\)라 할 때, 원 \(C\) 위의 점 중 \(y\)좌표가 양수인 점 \(P\)와 타원 위의 점 중 제2사분면에 있는 점 \(Q\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(P F'\)은 원 \(C\)에 접한다. (나) 두 직선 \(P F'\), \(Q F'\)은 서로 수직이다. \(\overline{Q F'} = \dfrac{3}{2} \overline{P F}\)일 때, 이 타원의 장축의 길이는? (단, \(\overline{A F} < \overline{F F'}\))

초점이 \(F\)인 포물선 \(C : y^2 = 4 x\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)가 있다. 선분 \(P F\)를 지름으로 하는 원을 \(O\)라 할 때, 원 \(O\)는 포물선 \(C\)와 서로 다른 두 점에서 만난다. 원 \(O\)가 포물선 \(C\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\), 점 \(P\)에서 포물선 \(C\)의 준선에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. \(\angle Q H P = \alpha\), \(\angle H P Q = \beta\)라 할 때, \(\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha} = 3\)이다. \(\dfrac{\overline{Q H}}{\overline{P Q}}\)의 값은?

그림과 같이 두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{27} = 1\) 위의 점 \(P\left(\dfrac{9}{2}, k\right)\) \((k > 0)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 두 점 \(F\), \(F'\)을 초점으로 하고 점 \(Q\)를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선이 선분 \(P F'\)과 만나는 두 점을 \(R\), \(S\)라 하자. \(\overline{R S} + \overline{S F} = \overline{R F} + 8\)일 때, \(4 \times (a^2 + k^2)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 양수이고, 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 점 \(S\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

좌표평면에서 포물선 \(y^2 = 2 x - 2\)의 꼭짓점을 \(A\)라 하자. 이 포물선 위를 움직이는 점 \(P\)와 양의 실수 \(k\)에 대하여 \( \overrightarrow{O X} = \overrightarrow{O A} + \dfrac{k}{|\overrightarrow{O P}|} \overrightarrow{O P} \) 를 만족시키는 점 \(X\)가 나타내는 도형을 \(C\)라 하자. 도형 \(C\)가 포물선 \(y^2 = 2 x - 2\)와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(m^2\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2k-1)\)의 값은?

전체집합 \(U = {1, 2, 3, 4, 5}\)의 두 부분집합 \(A\), \(B\)에 대하여 \(A \cup B = U\), \(A \cap B = nothing\)을 만족시키는 집합 \(A\), \(B\)의 모든 순서쌍 \((A, B)\)의 개수는?

세 학생 A, B, C를 포함한 9명의 학생이 있다. 이 9명의 학생 중에서 A, B, C를 포함하여 6명을 선택하고, 이 6명의 학생 모두를 일정한 간격으로 원 모양의 탁자에 둘러앉게 하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

방정식 \(a + b + c + d = 10\)을 만족시키는 자연수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 모든 순서쌍 \((a, b, c, d)\)의 개수는?

양수 \(a\)에 대하여 \(\left(a x - \dfrac{2}{a x}\right)^7\)의 전개식에서 각 항의 계수의 총합이 \(1\)일 때, \(\dfrac{1}{x}\)의 계수는?

숫자 \(1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4\)가 하나씩 적혀 있는 \(8\)장의 카드가 있다. 이 \(8\)장의 카드 중에서 \(7\)장을 택하여 이 \(7\)장의 카드 모두를 일렬로 나열할 때, 서로 이웃한 \(2\)장의 카드에 적혀 있는 수의 곱 모두가 짝수가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

두 집합 \(X\), \(Y\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. (가) 조건 (가). (나) 조건 (나).

세 문자 \(a\), \(b\), \(c\) 중에서 중복을 허락하여 각각 일정 개 이하씩 모두 일정 개를 택해 다음 조건을 만족시키는 자리의 문자열을 만들려고 한다. (가) 한 문자가 연달아 개 이어지고 그 문자는 뿐이다. (나) 어느 한 문자도 연달아 개 이상 이어지지 않는다. 만들 수 있는 모든 문자열의 개수를 구하시오.