2021년 3월 고3 학력평가

\(\log_8 16\)의 값은?

\(0 \leq x < 2\pi\)일 때, 방정식 \(\sin 4x = \dfrac{1}{2}\)의 서로 다른 실근의 개수는?

공차가 3인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_4 = 100\)일 때, \(a_1\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{2}^{-2} (x^3 + 3x^2) d x\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -2+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + a x + b}{x - 3} & \quad \text{if } x < 3 \\ \dfrac{2x + 1}{x - 2} & \quad \text{if } x \geq 3 \end{cases}\) 이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(a - b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \begin{cases} \dfrac{(n+1)^2}{2} & \quad \text{if } n \text{is odd} \\ \dfrac{n^2}{2} + n + 1 & \quad \text{if } n \text{is even} \end{cases}\) 일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 - 9x\)와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 \(k\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M - m\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(-3\)인 삼차함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(y = g(x)\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 원점에서 만난다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이는?

자연수 \(n\)에 대하여 점 \(A_n (n, n^2)\)을 지나고 직선 \(y = n x\)에 수직인 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(B_n\)이라 하자. 다음은 삼각형 \(A_n O B_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3}\)의 값을 구하는 과정이다. (단, \(O\)는 원점이다.) 점 \(A_n (n, n^2)\)을 지나고 직선 \(y = n x\)에 수직인 직선의 방정식은 \(y = boxed(\text{(가)}) \times x + n^2 + 1\) 이므로 두 점 \(A_n\), \(B_n\)의 좌표를 이용하여 \(S_n\)을 구하면 \(S_n = boxed(\text{(나)})\) 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3} = boxed(\text{(다)})\) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(n)\), \(g(n)\)이라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(r\)라 할 때, \(f(1) + g(2) + r\)의 값은?

그림과 같이 두 점 \(O\), \(O'\)을 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 두 원 \(O\), \(O'\)이 한 평면 위에 있다. 두 원 \(O\), \(O'\)이 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 할 때, \(\angle A O B = \dfrac{5}{6} \pi\)이다. 원 \(O\)의 외부와 원 \(O'\)의 내부의 공통부분의 넓이를 \(S_1\), 마름모 \(A O B O'\)의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1 - S_2\)의 값은?

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x) - g(x)}{x - 1} = 5\) (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x) + g(x) - 2 f(1)}{x - 1} = 7\) 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x) - a}{x - 1} = b \times g(1)\)일 때, \(a b\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} 2^x & \quad \text{if } x < 3 \\ \left(\dfrac{1}{4}\right)^{x+a} - \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3+a} + 8 & \quad \text{if } x \geq 3 \end{cases}\) 에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 중에서 \(y\)좌표가 정수인 점의 개수가 23일 때, 정수 \(a\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = f(x) + |f'(x)|\) 라 할 때, 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(0) = g(0) = 0\) (나) 방정식 \(f(x) = 0\)은 양의 실근을 갖는다. (다) 방정식 \(|f(x)| = 4\)의 서로 다른 실근의 개수는 3이다. \(g(3)\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A B} = 5\), \(\overline{B C} = 4\), \(\cos(\angle A B C) = \dfrac{1}{8}\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. \(\angle A B C\)의 이등분선과 \(\angle C A B\)의 이등분선이 만나는 점을 \(D\), 선분 \(B D\)의 연장선과 삼각형 \(A B C\)의 외접원이 만나는 점을 \(E\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(\overline{A C} = 6\) ㄴ. \(\overline{E A} = \overline{E C}\) ㄷ. \(\overline{E D} = \dfrac{31}{8}\)

두 함수 \(f(x) = 2x^2 + 5x + 3\), \(g(x) = x^3 + 2\)에 대하여 함수 \(f(x) g(x)\)의 \(x = 0\)에서의 미분계수를 구하시오.

모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(3x^2 - 2(\log_2 n) x + \log_2 n > 0\) 이 성립하도록 하는 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(F(x)\)의 도함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \begin{cases} -2x & \quad \text{if } x < 0 \\ k(2x - x^2) & \quad \text{if } x \geq 0 \end{cases}\) 이다. \(F(2) - F(-3) = 21\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_1 = 2\), \(a_2 = 4\)이고 2 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} S_n = a_n S_{n+1}\) 이 성립할 때, \(S_5\)의 값을 구하시오.

실수 \(m\)에 대하여 직선 \(y = m x\)와 함수 \(f(x) = 2x + 3 + |x - 1|\) 의 그래프의 교점의 개수를 \(g(m)\)이라 하자. 최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(h(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(h(5)\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{A B} = 2\), \(\overline{A C} \parallel \overline{B D}\), \(\overline{A C} : \overline{B D} = 1 : 2\)인 두 삼각형 \(A B C\), \(A B D\)가 있다. 점 \(C\)에서 선분 \(A B\)에 내린 수선의 발 \(H\)는 선분 \(A B\)를 \(1 : 3\)으로 내분한다. 두 삼각형 \(A B C\), \(A B D\)의 외접원의 반지름의 길이를 각각 \(r\), \(R\)라 할 때, \(4(R^2 - r^2) \times \sin^2(\angle C A B) = 51\)이다. \(\overline{A C}^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\angle C A B < \dfrac{\pi}{2}\))

양수 \(a\)와 일차함수 \(f(x)\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (t^2 - 4) \{|f(t)| - a\} d t\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 극값을 갖지 않는다. (나) \(g(2) = 5\) \(g(0) - g(-4)\)의 값을 구하시오.