2021년 7월 고3 학력평가 (기하)

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (2, 4)\), \(\overrightarrow{b} = (-1, k)\)에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{a}\)와 \(\overrightarrow{b}\)가 서로 평행하도록 하는 실수 \(k\)의 값은?

쌍곡선 \(x^2 - y^2 = 1\) 위의 점 \(P(a, b)\)에서의 접선의 기울기가 \(2\)일 때, \(a b\)의 값은? (단, 점 \(P\)는 제1사분면 위의 점이다.)

점 \(A(2, 6)\)과 직선 \(l : \dfrac{x - 5}{2} = y - 5\) 위의 한 점 \(P\)에 대하여 벡터 \(\overrightarrow{A P}\)와 직선 \(l\)의 방향벡터가 서로 수직일 때, \(|\overrightarrow{O P}|\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

그림과 같이 두 점 \(F(\sqrt{7}, 0)\), \(F'(-\sqrt{7}, 0)\)을 초점으로 하고 장축의 길이가 \(8\)인 타원이 있다. \(\overline{F F'} = \overline{P F'}\), \(\overline{F P} = 2 \sqrt{3}\)을 만족시키는 점 \(P\)에 대하여 점 \(F'\)을 지나고 선분 \(F P\)에 수직인 직선이 타원과 만나는 점 중 제1사분면 위의 점을 \(Q\)라 할 때, 선분 \(F Q\)의 길이는? (단, 점 \(P\)는 제1사분면 위의 점이다.)

그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 있는 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)와 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 \(C\), \(D\), \(E\), \(F\)가 있다. 사각형 \(A B C D\)는 한 변의 길이가 \(6\)인 정사각형이고 사각형 \(A B E F\)는 \(\overline{A F} = 12\)인 직사각형이다. 정사각형 \(A B C D\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이는 \(18\)이고, 점 \(F\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영을 \(H\)라 하면 \(\overline{F H} = 6\)이다. 정사각형 \(A B C D\)의 평면 \(A B E F\) 위로의 정사영의 넓이는? (단, \(0 < \angle D A F < \dfrac{\pi}{2}\))

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 \(y^2 = 4 x\)의 초점 \(F\)를 지나고 \(x\)축과 수직인 직선 \(l_1\)이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 점 \(F\)를 지나고 기울기가 \(m\) \((m > 0)\)인 직선 \(l_2\)가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 삼각형 \(F C A\)의 넓이가 삼각형 \(F D B\)의 넓이의 \(5\)배일 때, \(m\)의 값은? (단, 두 점 \(A\), \(C\)는 제1사분면 위의 점이고, 두 점 \(B\), \(D\)는 제4사분면 위의 점이다.)

그림과 같이 \(\overline{A B} = 4\), \(\overline{C D} = 8\), \(\overline{B C} = \overline{B D} = 4 \sqrt{5}\)인 사면체 \(A B C D\)에 대하여 직선 \(A B\)와 평면 \(A C D\)는 서로 수직이다. 두 선분 \(C D\), \(D B\)의 중점을 각각 \(M\), \(N\)이라 할 때, 선분 \(A M\) 위의 점 \(P\)에 대하여 선분 \(D B\)와 선분 \(P N\)은 서로 수직이다. 두 평면 \(P D B\)와 \(C D B\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(40 \cos^2 \theta\)의 값을 구하시오.

평면 위에 \(\overline{O A} = 2 + 2 \sqrt{3}\), \(\overline{A B} = 4\), \(\angle C O A = \dfrac{\pi}{3}\), \(\angle A = \angle B = \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시키는 사다리꼴 \(O A B C\)가 있다. 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 원 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O P}\)의 값이 최대가 되도록 하는 점 \(P\)를 \(Q\)라 할 때, 직선 \(O Q\)가 원과 만나는 점 중 \(Q\)가 아닌 점을 \(D\)라 하자. 원 위의 점 \(R\)에 대하여 \(\overrightarrow{D Q} \cdot \overrightarrow{A R}\)의 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(M^2\)의 값을 구하시오.