2025년 10월 고1 학력평가 (경기)

두 다항식 \(A = 2x^2 + x y - 2y\), \(B = x^2 + x y + y\)에 대하여 \(A - B\)는?

좌표평면 위의 두 점 \((1, 0)\), \((2, -3)\) 사이의 거리는?

두 행렬 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)에 대하여 행렬 \(A + 2B\)의 모든 성분의 합은?

등식 \(x^2 + a x - 1 = (x - 1)(x + b) + 3x\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

좌표평면 위의 점 \((3, a)\)를 점 \((8, 8)\)로 옮기는 평행이동에 의하여 점 \((5, 5)\)가 점 \((b, 2)\)로 옮겨질 때, \(a + b\)의 값은?

다항식 \((4x - a y + 2)^2\)의 전개식에서 \(x^2\)의 계수와 \(y\)의 계수가 같을 때, 상수 \(a\)의 값은?

두 이차정사각행렬 \(A\), \(B\)의 \((i, j)\) 성분을 각각 \(a_{i j}\), \(b_{i j}\)라 할 때, \(a_{i j} = i + 2j\) (\(i = 1, 2\), \(j = 1, 2\)), \(b_{i j} = i \times j\) (\(i = 1, 2\), \(j = 1, 2\))이다. 행렬 \(A B\)의 \((2, 1)\) 성분은?

연립방정식 \(\begin{cases} x - y = -3 \\ x^2 - 6x + 4y = 11 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 - (a + 1) x^2 + (a - 3) x + 8\)을 \(x - a\)로 나누었을 때의 나머지가 \(a\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 \(a\), \(b\)라 하자. \(a \times b\)가 \(4\)의 약수 또는 \(12\)의 배수가 되는 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수는?

점 \((m, -m)\)과 직선 \(3x + y + 3 = 0\) 사이의 거리를 \(d_1\), 점 \((0, 5)\)와 직선 \(3x + y + 3 = 0\) 사이의 거리를 \(d_2\)라 하자. \(d_1 < d_2\)가 되도록 하는 정수 \(m\)의 개수는?

실수 \(a\)에 대하여 복소수 \(z\)를 \(z = a^2 + (1 + i) a - 6(2 + i)\)라 하자. \(z^2\)이 실수가 되도록 하는 모든 \(a\)의 값의 합은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 \geq 4n^2 \\ x^2 - n x - 6n^2 \leq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(10\)이 되도록 하는 자연수 \(n\)의 값은?

좌표평면 위에 두 점 \(A(-3, 2)\), \(B(2, 6)\)이 있다. \(\overline{P Q} = 1\)인 \(x\)축 위의 두 점 \(P\), \(Q\)에 대하여 \(\overline{A P} + \overline{Q B}\)의 최솟값은? (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(Q\)의 \(x\)좌표보다 작다.)

세 이차정사각행렬 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}\), \(B\), \(C\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A B = C A = O\) (나) 행렬 \(B\)의 모든 성분의 합이 \(3\)이고, 행렬 \(C\)의 \((1, 1)\) 성분과 \((2, 1)\) 성분이 같다. \(B C = A\)일 때, 행렬 \(C\)의 모든 성분의 합은? (단, \(O\)는 영행렬이다.)

1학년 학생 3명, 2학년 학생 2명, 3학년 학생 1명이 있다. 이 6명의 학생 중에서 5명의 학생을 선택하고 이 5명의 학생이 모두 한 번씩 발표하도록 순서를 정하려고 할 때, 1학년 학생끼리는 연속해서 발표하지 않도록 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 발표는 한 명씩 한다.)

양수 \(a\)에 대하여 \(0 \leq x \leq a\)에서 이차함수 \(f(x) = -2x^2 + 16 x - 7\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(0\)이 되도록 하는 모든 \(a\)의 값의 합은?

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 + (2a + 3) x^2 + (3a + 5) x + a + 3\)이 \((x + b)(x + c)^2\)으로 인수분해되도록 하는 세 실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a + b + c\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차다항식 \(f(x)\)와 모든 항의 계수가 실수인 두 다항식 \(P(x)\), \(Q(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x)\)를 \(P(x)\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q(x)\)이고 나머지는 \(P(x) + (Q(x))^2\)이다. (나) \(f(x)\)를 \(Q(x)\)로 나누었을 때의 몫은 \(P(x)\)이고 나머지는 \(P(x) + (Q(x))^2\)이다. \(P(0) = -2\), \(Q(0) = 1\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

\(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 좌표평면 위의 서로 다른 세 점 \(A(2a, 0)\), \(B\), \(C\)가 다음 조건을 만족시킨다. ○ 삼각형 \(A B C\)의 무게중심의 좌표는 \((0, 2)\)이다. ○ \(\overline{A B} = \overline{A C}\) 다음은 \(\overline{B C} = 2 \sqrt{a^2 + 1}\)일 때, 점 \(B\)의 \(x\)좌표와 \(y\)좌표의 합을 구하는 과정이다. (단, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(C\)의 \(x\)좌표보다 크다.) 선분 \(B C\)의 중점을 \(M(b, c)\), 삼각형 \(A B C\)의 무게중심을 \(G\)라 하면, 점 \(G(0, 2)\)는 선분 \(A M\)을 \(2 : 1\)로 내분하는 점이므로 \(b = -a\), \(c = \) (가) 이다. \(\overline{A B} = \overline{A C}\)이고 직선 \(A M\)의 기울기가 \(-\dfrac{1}{a}\)이므로 직선 \(B C\)의 방정식은 \(y = \) (나) \(\times {x - (-a)} + \) (가) 이다. 점 \(B\)의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하면 점 \(B\)의 \(y\)좌표는 (나) \(\times (k + a) + \) (가) 이다. \(\overline{B M} = \dfrac{1}{2} \overline{B C}\)이고 점 \(B\)의 \(x\)좌표가 점 \(C\)의 \(x\)좌표보다 크므로 \(k = \) (다) 이다. 따라서 점 \(B\)의 \(x\)좌표와 \(y\)좌표의 합은 (라) 이다. 위의 (가), (라)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\)라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(a)\), \(g(a)\)라 할 때, \(f(p) \times g(q)\)의 값은?

좌표평면 위의 제1사분면에 있는 점 \(A\)를 중심으로 하고 원점 \(O\)를 지나는 원 \(C_1\)이 있다. 원 \(C_1\)을 원점 \(O\)에 대하여 대칭이동한 원을 \(C_2\)라 할 때, 두 원 \(C_1\), \(C_2\)가 다음 조건을 만족시킨다. 삼각형 \(O P Q\)의 외접원의 중심이 선분 \(P Q\) 위에 있도록 하는 원 \(C_1\) 위의 점 \(P\)와 원 \(C_2\) 위의 점 \(Q\)에 대하여 \(\overline{P Q} = 6\)이다. 원 \(C_2\)가 \(x\)축과 만나는 점 중 \(O\)가 아닌 점을 \(B\)라 할 때, 원 \(C_2\) 위의 점 \(B\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. 직선 \(l\)의 기울기가 \(\dfrac{1}{2}\)일 때, 점 \(A\)와 직선 \(l\) 사이의 거리는?

직선 \(y = (5 - 2k) x + 2\)와 직선 \(y = x + 3\)이 서로 평행할 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

등식 \(attach(C, bl: n, br: 2) = attach(P, bl: 3, br: 2) \times n\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

두 행렬 \(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}\)에 대하여 \(p A - B = q \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 상수이다.)

\(1\)부터 \(6\)까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 \(6\)장의 카드가 있다. 이 \(6\)장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수가 되도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

\(x\)에 대한 사차방정식 \((2x^2 + k x)^2 + 10 (2x^2 + k x) + 16 = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 자연수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.

상수 \(k\)에 대하여 \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + k x - \dfrac{1}{2} k^2 + 3 k = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha\), \(\beta\)를 갖는다. \(\alpha^2 - k \beta = 12\)일 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하시오.

원 \(O\)가 \(x\)축과 두 점 \(A\), \(B\)에서 만나고, \(y\)축과 두 점 \(C\), \(D\)에서 만난다. 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)와 원 \(O\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 사각형 \(A C B D\)의 넓이를 구하시오. (단, 점 \(A\)의 \(x\)좌표는 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 작고, 점 \(C\)의 \(y\)좌표는 점 \(D\)의 \(y\)좌표보다 작다.) (가) 선분 \(A B\)를 \(1 : 4\)로 내분하는 점은 선분 \(C D\)의 중점이다. (나) 원 \(O\)가 직선 \(4x - 3y + 13 = 0\)에 접한다.

그림과 같이 정사각형 \(A B C D\)를 밑면으로 하는 직육면체 \(A B C D - E F G H\)가 있다. 선분 \(A D\) 위의 점 \(P\)와 선분 \(B C\) 위의 점 \(Q\)를 \(\overline{A P} = \overline{B Q} = \overline{B F}\)가 되도록 잡고, 점 \(P\)에서 선분 \(E H\)에 내린 수선의 발을 \(R\), 점 \(Q\)에서 선분 \(F G\)에 내린 수선의 발을 \(S\)라 하자. 직육면체 \(A B C D - E F G H\)의 부피를 \(V_1\), 직육면체 \(A B Q P - E F S R\)의 부피를 \(V_2\)라 하자. \((\overline{A B} + \overline{B F}) \times \overline{S D}^2 = \dfrac{35}{4}\), \(V_1 + V_2 = \dfrac{15}{4}\)일 때, \((\overline{A B} + \overline{B F})^3 = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{A B} > \overline{B F}\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

두 상수 \(p\) \((p > 0)\), \(q\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} (x - p)^2 + q\)가 있다. 함수 \(f(x)\)와 양수 \(m\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = -f(x - m)\)이라 할 때, 방정식 \(f(x) = g(x)\)가 서로 다른 두 실근 \(\alpha\), \(\beta\) \((\alpha < \beta)\)를 갖는다. 함수 \(h(x)\)를 \(x \leq \alpha\) 또는 \(x \geq \beta\)일 때 \(h(x) = f(x)\), \(\alpha < x < \beta\)일 때 \(h(x) = g(x)\)라 할 때, 함수 \(h(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. \(x\)에 대한 방정식 \(h(x) = t\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\) 이상이면서 서로 다른 모든 실근의 합이 \(4 p + 2 m\)이 되도록 하는 모든 실수 \(t\)의 값의 범위는 \(g(p) < t < 5\)이다. \(f(m) + g(m) = -4\)일 때, \(m \times (p - q)\)의 값을 구하시오.