2023년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계)

다항식 \((x^2+2)^6\)의 전개식에서 \(x^8\)의 계수는?

한 개의 주사위를 네 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 \(a, b, c, d\)라 하자. 네 수 \(a, b, c, d\)의 곱 \(a \times b \times c \times d\)가 27의 배수일 확률은?

이산확률변수 \(X\)의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(X\)	1	2	3	합계
\(P(X=x)\)	\(a\)	\(a+b\)	\(b\)	1

\(E(X^2) = a + 5\)일 때, \(b - a\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

주머니 A에는 흰 공 1개, 검은 공 2개가 들어 있고, 주머니 B에는 흰 공 3개, 검은 공 3개가 들어 있다. 주머니 A에서 임의로 1개의 공을 꺼내어 주머니 B에 넣은 후 주머니 B에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 주머니 B에서 꺼낸 3개의 공 중에서 적어도 한 개가 흰 공일 확률은?

숫자 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2가 하나씩 적힌 7장의 카드가 있다. 이 7장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃하는 두 장의 카드에 적힌 수의 곱이 모두 1 이하가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

1부터 5까지의 자연수가 하나씩 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 공을 임의로 한 개씩 5번 꺼내어 \(n (1 \leq n \leq 5)\)번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 \(a_n\)이라 하자. \(a_k \leq k\)를 만족시키는 자연수 \(k (1 \leq k \leq 5)\)의 최솟값이 3일 때, \(a_1 + a_2 = a_4 + a_5\)일 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

두 연속확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 갖는 값의 범위는 \(0 \leq X \leq 4\), \(0 \leq Y \leq 4\)이고, \(X\)와 \(Y\)의 확률밀도함수는 각각 \(f(x), g(x)\)이다. 확률변수 \(X\)의 확률밀도함수 \(f(x)\)의 그래프는 그림과 같다. 확률변수 \(Y\)의 확률밀도함수 \(g(x)\)는 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 연속이고 \(0 \leq x \leq 4\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \( {g(x) - f(x)}{g(x) - a} = 0 \) (\(a\)는 상수) 를 만족시킨다. 두 확률변수 \(X\)와 \(Y\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(P(0 \leq Y \leq 1) < P(0 \leq X \leq 1)\) (나) \(P(3 \leq Y \leq 4) < P(3 \leq X \leq 4)\) \(P(0 \leq Y \leq 5a) = p - q \sqrt{2}\)일 때, \(p \times q\)의 값을 구하시오. (단, \(p, q\)는 자연수이다.)

집합 \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f: X \rightarrow X\)의 개수를 구하시오. (가) \(f(7) - f(1) = 3\) (나) 5 이하의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(n) \leq f(n+2)\)이다. (다) \(\dfrac{1}{3}|f(2) - f(1)|\)과 \(\dfrac{1}{3} \displaystyle\sum_{k=1}^4 f(2k-1)\)의 값은 모두 자연수이다.