2025년 10월 고2 학력평가

\((3^{\sqrt{2}-1})^{\sqrt{2}+1}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{3h} = 2\)일 때, \(f'(1)\)의 값은?

세 수 \(a\), \(4\), \(b\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(a \times b\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow -1-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2+} f(x)\)의 값은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} (x - 2a)^2 \text{ } (x < a) \\ x^2 - 3x + 6 \text{ } (x \geq a) \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(\displaystyle\sum_{k=1}^5 (k^2 + 2k - 4) - \displaystyle\sum_{k=1}^5 (2k + 5)\)의 값은?

\(\log_3 a = 2 \log_a \sqrt{3}\)을 만족시키는 모든 \(a\)의 값의 합은? (단, \(a\)는 1이 아닌 양수이다.)

\(3 \tan(\pi + \theta) = 2 \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} (x-1) f(x) = 12\)일 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{(x^2-1) f(x)}{3x+1}\)의 값은?

부등식 \(\log_2 (x^2 - x) < 1 - \log_{\dfrac{1}{2}} x\)를 만족시키는 모든 \(x\)의 값의 범위가 \(\alpha < x < \beta\)일 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?

실수 \(t (t > 0)\)에 대하여 곡선 \(y = x^2 - 3x\)와 직선 \(y = tx\)가 만나는 점 중 원점 \(O\)가 아닌 점을 \(P\)라 하고, 점 \(P\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 0+} \dfrac{\overline{O P} - \overline{O H}}{t^2}\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(y = \tan a x\)의 그래프와 직선 \(y = b\)가 제1사분면에서 만나는 모든 점의 \(x\)좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\)번째 수를 \(x_n\)이라 하자. \(x_4 - x_2 = 6 \pi\)이고 \(x_1 = \pi\)일 때, \(a \times b\)의 값은?

수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_n = \dfrac{1}{n}\)일 때, \(a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^7 \dfrac{1}{(k-1) \times a_k}\)의 값은?

2 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n - 12\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. \(f(n) + f(2n) = 1\)을 만족시키는 모든 \(n\)의 값의 합은?

최고차항의 계수가 1인 두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(f(1) = 0\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(x+3) \times g(x)}{{f(x)}^2} = 0\)을 만족시킬 때, \(f(5) + g(5)\)의 값은?

첫째항이 자연수이고 공차가 \(-2\)인 등차수열 \({a_n}\)과 자연수 \(k\)가 \(a_4 \times a_5 \leq 0\), \(|a_1 - a_k| = 4 |a_k|\)를 만족시킬 때, \(a_1 + k\)의 값은?

함수 \(f(x) = \sin(x + a)\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 \(3 \pi\)보다 작은 모든 양수 \(a\)의 값의 합은? (가) 닫힌구간 \([0, \pi]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(2|M| = |m|\)이다.

그림과 같이 기울기가 1인 직선 \(l\)이 곡선 \(y = 2^x\)과 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에서 만나고, 곡선 \(y = 2^{x-1} + 1\)과 서로 다른 두 점 \(C\), \(D\)에서 만난다. 점 \(B\)가 선분 \(A D\)를 \(3:1\)로 내분할 때, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는? (단, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크고, 점 \(D\)의 \(x\)좌표는 점 \(C\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

등비수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(a_{10}\)의 값은? (가) 2 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n > a_1\), \(a_n = (a_4 + a_5 - 1) \times a_{n-1}\) (나) \(\displaystyle\sum_{n=1}^3 a_n = \dfrac{6}{a_1 - a_2}\)

함수 \(f(x) = \begin{cases} -2^{x+3} + a \text{ } (x < 0) \\ 2^{-x+6} + a - 12 \text{ } (x \geq 0) \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 정수 \(a\)의 값의 합은? \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) \times f(x - k) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되도록 하는 4 이하의 양수 \(k\)가 존재한다.

\(\log_3 54 - \log_3 2\)의 값을 구하시오.

중심각의 크기가 \(\dfrac{2}{5} \pi\)이고 호의 길이가 \(4 \pi\)인 부채꼴의 넓이는 \(a \pi\)이다. \(a\)의 값을 구하시오.

함수 \(y = \log(x - 2)\)의 그래프의 점근선과 함수 \(y = 2^x + 5\)의 그래프의 점근선이 만나는 점의 좌표가 \((a, b)\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오.

등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_{11} = 88\)이고 \(a_5 = 3\)일 때, \(a_7\)의 값을 구하시오.

두 상수 \(a\), \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = a|x - 2|\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow k+} \dfrac{f(x) - f(k)}{x - k} - \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow k-} \dfrac{f(x) - f(k)}{x - k} = 6\)을 만족시킬 때, \(f(a + k)\)의 값을 구하시오.

\(\overline{A B} = 6\)인 삼각형 \(A B C\)에 대하여 \(2 \sin A = \sin B\), \(\cos C = \dfrac{4}{5}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 넓이를 구하시오.

닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\dfrac{f(0)}{f(2)}\)의 값을 구하시오. (가) 함수 \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서만 불연속이고, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1} f(x) = 3 f(2)\)이다. (나) \(0 \leq x \leq 2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \neq 2\)이고, \(f(0) + f(2) = 4\)이다.

다음 조건을 만족시키는 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(12(a_{14} + a_{15})\)의 값을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{a_n} - 1 \text{ } (a_n > 0) \\ -a_n \text{ } (a_n \leq 0) \end{cases}\)이다. (나) \(a_1 > 6\)이고, \(a_1 + a_5 + a_9 + a_{13} = 13\)이다.

세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 함수 \(f(x) = \begin{cases} (x+4)(x+a) \text{ } (x < -4 \text{ 또는 } -4 < x < 0) \\ b \text{ } (x = -4) \\ -x^2 + 6x + c \text{ } (x \geq 0) \end{cases}\)이 있다. 상수 \(k (k > 4)\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(t\)에서 \(t + k\)까지 변할 때의 평균변화율을 \(g(t)\)라 하고, \(f(t) \times g(t)\)의 값을 \(h(t)\)라 하자. 두 함수 \(f(x)\), \(h(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(h(t)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) \(f(k) = b\) \(f(c - a - b)\)의 값을 구하시오.