2025년 7월 고3 학력평가 (확률과 통계)

\(\sqrt[4]{3} \times 3^{\dfrac{3}{4}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1 \times a_{13} = 64\), \(\dfrac{a_5}{a_2} = 2\)일 때, \(a_4\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^3 - 5 \text{(} x < 2 \text{)} \\ a x + 1 \text{(} x \geq 2 \text{)} \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = (x^2 - 1) f(x)\)라 하자. \(f(1) = 5\)일 때, \(g'(1)\)의 값은?

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)일 때, \(\sin \theta \cos \theta\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t) d t = x f(x) - x^3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값은?

1이 아닌 두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\log_2 a + \log_4 a b = \dfrac{5}{2}\)일 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\int_{-1}^1 f'(x) d x = 0\)을 만족시킬 때, \(f(0) - f(-1) + \displaystyle\int_{0}^{1} {x^2 + 2x + f'(x)} d x\)의 값은?

다음과 같이 \(0 \leq x < 2\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 있다. \(n - 1 \leq x < n\)일 때, \(f(x) = 3^n \sin \pi x + 4\)이다. (단, \(n = 1, 2\)) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 중 \(y\)좌표가 자연수인 점의 개수는?

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = t^3 - 5 t^2 + 10 t\), \(x_2 = \dfrac{5}{2} t^2 - 2 t - 10\)이다. 두 점 P, Q 사이의 거리가 최소가 되는 순간 점 P의 가속도는?

첫째항이 1인 등차수열 \({a_n}\)이 있다. 수열 \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_{n+1} = \begin{cases} b_n + 1 \text{(} n \text{이 3의 배수가 아닌 경우} \text{)} \\ b_n + a_n \text{(} n \text{이 3의 배수인 경우} \text{)} \end{cases}\)를 만족시킨다. \(b_9 - b_3 = 27\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4 x + 5\)와 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x + a) + b \text{(} x < 0 \text{)} \\ f(x) \text{(} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\)라 하자. \(|\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k+} h(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k-} h(t)| = 2\)를 만족시키는 서로 다른 모든 실수 \(k\)의 값이 1, 4, 5일 때, \(g(-4)\)의 값은?

그림과 같이 반지름의 길이가 \(3 \sqrt{2}\)인 원 O의 외부에 있는 점 A에서 원 O에 그은 두 접선을 각각 \(l\), \(m\)이라 하고, 두 직선 \(l\), \(m\)이 원 O와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 점 B를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선이 원 O와 만나는 두 점 중에서 B가 아닌 점을 P, 직선 AP가 원 O와 만나는 두 점 중에서 P가 아닌 점을 Q라 하면 \(\overline{A B} = 12\)일 때, \(\sin(\angle B P Q) : \sin(\angle Q P C) = 3 : 1\)이다. 삼각형 BQC의 넓이는?

함수 \(f(x) = x^2 + a x + b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} |f(x)| - x^2 \text{(} x \leq 0 \text{)} \\ |f(x)|^2 + x^3 \text{(} x > 0 \text{)} \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = b\)에서만 미분가능하지 않다. (나) 방정식 \(g(x) = 0\)은 음의 실근을 갖는다. \(g\left(-\dfrac{1}{2}\right) + g(3)\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

방정식 \(2 \log_3 (x + 1) = \log_3 (x + 7)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6 x^2 + 1\)이고 \(f(0) = 2\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (2 a_{k+1} - b_k) = 150\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (a_{k+1} + b_k) = 330\)이다. \(a_1 = 3\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(-x)\)를 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 극솟값 \(-6\)을 가질 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오.

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = -2^{-x + a} + b\)가 있다. 집합 \(\{x | x \neq 4, x \text{는 실수}\}\)에서 정의된 함수 \(g(x) = f(x) + 2^x + \dfrac{|x - 4|}{x - 4} {f(x) - 2^x}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(g(6)\)의 값을 구하시오. 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수는 0 또는 2이다.

함수 \(f(x) = -x^2 + k x\) \((k > 0)\)의 그래프 위에 있는 제 1 사분면 위의 점 \(A(a, f(a))\) \(\left(a > \dfrac{k}{2}\right)\)에서의 접선의 방정식을 \(y = g(x)\)라 하고, 직선 \(y = g(x)\)의 \(x\)절편을 \(b\)라 하자. 점 A에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 H라 하고, 삼각형 AOH의 넓이를 \(S\)라 할 때, 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) d x = S\) (나) \(\displaystyle\int_{0}^{a} {f(x) - \dfrac{1}{2} a x} d x = \dfrac{32}{3}\) \(g(-k)\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(k\)는 상수이다.)

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_6 = 6\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_n \text{(} a_n \text{이 홀수인 경우} \text{)} \\ \dfrac{1}{2} a_n \text{(} a_n \text{이 짝수인 경우} \text{)} \end{cases}\)이다. (나) 네 항 \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\) 중 짝수인 항의 개수는 1이다.

\({}_4 \Pi_3\)의 값은?

두 사건 \(A\), \(B\)는 서로 배반사건이고 \(P(A \cup B) = \dfrac{9}{10}\), \(P(A) = \dfrac{2}{5}\)일 때, \(P(B)\)의 값은?

1부터 12까지의 자연수가 하나씩 적힌 12개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 2개의 공에 적힌 수 중 적어도 하나가 8의 약수일 확률은?

다항식 \((1 + a x)(2 + x)^5\)의 전개식에서 \(x^3\)의 계수와 \(x^4\)의 계수의 합이 290일 때, 양수 \(a\)의 값은?

이산확률변수 \(X\)가 가지는 값이 1부터 4까지의 자연수이고 \(P(X = k + 2) - P(X = k) = \dfrac{(-1)^k}{4}\) \((k = 1, 2)\)이다. \(E(X) = \dfrac{21}{8}\)일 때, \(P(X = 1)\)의 값은?

집합 \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f : X \rightarrow X\)의 개수는? (가) \(f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq f(4) \leq 5\) (나) \(n = 4, 5, 6\)일 때, \(f(f(n)) = n\)이다.

정규분포 \(N(80, 5^2)\)을 따르는 확률변수 \(X\)와 정규분포를 따르는 확률변수 \(Y\)가 \(2 X + Y = a\)를 만족시킨다. \(P(b \leq X \leq 75) = 0.1359\), \(P(a - 160 \leq Y \leq b) = 0.4332\)일 때, 표준정규분포표를 이용하여 \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) 표준정규분포표: \(z = 0.5\)일 때 \(P(0 \leq Z \leq z) = 0.1915\), \(z = 1.0\)일 때 \(0.3413\), \(z = 1.5\)일 때 \(0.4332\), \(z = 2.0\)일 때 \(0.4772\).

1부터 4까지의 자연수가 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어 있는 주머니 A와 2부터 5까지의 자연수가 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어 있는 주머니 B가 있다. 두 주머니 A, B와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \(k\)일 때, \(k\)가 3의 배수이면 주머니 A에서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼낸 후 주머니 B에서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼내고, \(k\)가 3의 배수가 아니면 주머니 A에서 임의로 1장의 카드를 꺼낸 후 주머니 B에서 임의로 1장의 카드를 꺼낸다. 이 시행을 한 번 하여 두 주머니 A, B에서 꺼낸 카드 중 같은 숫자가 적힌 카드가 있을 때, 꺼낸 카드 중 숫자 4가 적힌 카드의 개수가 2일 확률은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)