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2023년 9월 고2 학력평가
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Results by Question
1
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(2 \times 16^{\dfrac{1}{2}}\)의 값은?
1
\(2 \sqrt{2}\)
2
\(4\)
3
\(4 \sqrt{2}\)
\(8\)
Correct Answer
5
\(8 \sqrt{2}\)
Explanation
\(2 \times 16^{\dfrac{1}{2}} = 2 \times (2^4)^{\dfrac{1}{2}} = 2 \times 2^2 = 8\)
2
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{(x-2)(x^3+1)}{x-2}\)의 값은?
\(9\)
Correct Answer
2
\(10\)
3
\(11\)
4
\(12\)
5
\(13\)
Explanation
\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{(x-2)(x^3+1)}{x-2} = \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} (x^3+1) = 2^3+1 = 9\)
3
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(4 \cos \dfrac{\pi}{3}\)의 값은?
1
\(\dfrac{1}{2}\)
2
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
3
\(1\)
4
\(\sqrt{2}\)
\(2\)
Correct Answer
Explanation
\(4 \cos \dfrac{\pi}{3} = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2\)
4
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
네 수 \(a\), \(4\), \(b\), \(10\)이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a+2b\)의 값은?
1
\(11\)
2
\(13\)
\(15\)
Correct Answer
4
\(17\)
5
\(19\)
Explanation
\(b\)는 두 수 4, 10의 등차중항이므로 \(b = \dfrac{4+10}{2} = 7\). 공차가 3이므로 \(a+3 = 4\), \(a = 1\). 따라서 \(a + 2b = 1 + 14 = 15\)
5
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x)\)의 값은?
1
\(1\)
2
\(2\)
3
\(3\)
4
\(4\)
\(5\)
Correct Answer
Explanation
\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x) = 2 + 3 = 5\)
6
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan \theta = 2\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?
1
\(-\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)
\(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Correct Answer
3
\(-\dfrac{1}{5}\)
4
\(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
5
\(\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)
Explanation
\(\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2\)이므로 \(\sin \theta = 2 \cos \theta\). \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 5 \cos^2 \theta = 1\)이므로 \(\cos^2 \theta = \dfrac{1}{5}\). \(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)에서 \(\cos \theta < 0\)이므로 \(\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
7
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Error Rate 100%
Wrong
수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_k - 1)^2 = 61\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k (a_k - 4) = 11\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k^2\)의 값은?
1
\(12\)
2
\(13\)
3
\(14\)
\(15\)
Correct Answer
5
\(16\)
Explanation
\(\displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_k - 1)^2 = 4 \sum a_k^2 - 4 \sum a_k + \sum 1 = 61\)이므로 \(4 \sum a_k^2 - 4 \sum a_k = 56\). \(\sum a_k(a_k - 4) = \sum a_k^2 - 4 \sum a_k = 11\). \(\sum a_k^2 = m\), \(\sum a_k = n\)이라 하면 \(4m - 4n = 56\), \(m - 4n = 11\). 두 식 빼면 \(3m = 45\), \(m = 15\). 따라서 \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k^2 = 15\)
8
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Error Rate 100%
Wrong
\(0 \leq x \leq 2 \pi\)일 때, 방정식 \(2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\)의 모든 해의 합은?
1
\(\dfrac{\pi}{2}\)
2
\(\dfrac{3}{4} \pi\)
\(\pi\)
Correct Answer
4
\(\dfrac{5}{4} \pi\)
5
\(\dfrac{3}{2} \pi\)
Explanation
\(2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\). \((2 \sin x - 1)(\sin x + 2) = 0\). \(-1 \leq \sin x \leq 1\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\). \(0 \leq x \leq 2 \pi\)에서 \(x = \dfrac{\pi}{6}\) 또는 \(x = \dfrac{5}{6} \pi\). 따라서 모든 해의 합은 \(\pi\)
9
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Error Rate 100%
Wrong
두 양수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\log_2 \left(m^2 + \dfrac{1}{4}\right) = -1\), \(\log_2 m = 5 + 3 \log_2 n\)일 때, \(m+n\)의 값은?
1
\(\dfrac{5}{8}\)
2
\(\dfrac{11}{16}\)
\(\dfrac{3}{4}\)
Correct Answer
4
\(\dfrac{13}{16}\)
5
\(\dfrac{7}{8}\)
Explanation
\(\log_2\left(m^2 + \dfrac{1}{4}\right) = -1\)이므로 \(m^2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\), \(m^2 = \dfrac{1}{4}\). \(m > 0\)이므로 \(m = \dfrac{1}{2}\). \(\log_2 \dfrac{1}{2} = 5 + 3 \log_2 n\)이므로 \(\log_2 n = -2\), \(n = \dfrac{1}{4}\). 따라서 \(m + n = \dfrac{3}{4}\)
10
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Error Rate 100%
Wrong
\(\overline{A B} = 6\), \(\overline{B C} = 7\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 삼각형 \(A B C\)의 넓이가 \(15\)일 때, \(\cos(\angle A B C)\)의 값은? (단, \(0 < \angle A B C < \dfrac{\pi}{2}\))
1
\(\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)
\(\dfrac{2 \sqrt{6}}{7}\)
Correct Answer
3
\(\dfrac{3 \sqrt{3}}{7}\)
4
\(\dfrac{\sqrt{30}}{7}\)
5
\(\dfrac{\sqrt{33}}{7}\)
Explanation
삼각형 ABC의 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 7 \times \sin(\angle A B C) = 15\)이므로 \(\sin(\angle A B C) = \dfrac{5}{7}\). \(0 < \angle A B C < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos(\angle A B C) > 0\). 따라서 \(\cos(\angle A B C) = \sqrt{1 - \dfrac{25}{49}} = \dfrac{2 \sqrt{6}}{7}\)
11
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
첫째항이 \(3\)이고 공비가 \(1\)보다 큰 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(\dfrac{S_4}{S_2} = \dfrac{6 a_3}{a_5}\)일 때, \(a_7\)의 값은?
\(24\)
Correct Answer
2
\(27\)
3
\(30\)
4
\(33\)
5
\(36\)
Explanation
공비를 \(r (r > 1)\)이라 하자. \(\dfrac{S_4}{S_2} = r^2 + 1\)이고 \(\dfrac{6 a_3}{a_5} = \dfrac{6}{r^2}\)이므로 \(r^2 + 1 = \dfrac{6}{r^2}\). \(r^4 + r^2 - 6 = 0\), \((r^2 - 2)(r^2 + 3) = 0\)이므로 \(r^2 = 2\). 따라서 \(a_7 = 3 r^6 = 3 \times 8 = 24\)
12
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Error Rate 100%
Wrong
세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 함수 \(y = a \tan(b x + c)\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a \times b \times c\)의 값은? (단, \(0 < c < \pi\))
\(\dfrac{9}{16} \pi\)
Correct Answer
2
\(\dfrac{5}{8} \pi\)
3
\(\dfrac{11}{16} \pi\)
4
\(\dfrac{3}{4} \pi\)
5
\(\dfrac{13}{16} \pi\)
Explanation
\(f(x) = a \tan(b x + c)\)의 주기가 \(\dfrac{\pi}{|b|} = 4 \pi\)이므로 \(b = \dfrac{1}{4}\). \(f(x) = a \tan \dfrac{1}{4}(x + 4c)\)이므로 평행이동량 \(-4c\). \(0 < c < \pi\)에서 \(-4 \pi < -4c < 0\)이고 \(f(-3 \pi) = 0\)이므로 \(-4c = -3 \pi\), \(c = \dfrac{3}{4} \pi\). \(f(0) = a \tan \dfrac{3}{4} \pi = -a = -3\)이므로 \(a = 3\). 따라서 \(a \times b \times c = 3 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} \pi = \dfrac{9}{16} \pi\)
13
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
첫째항이 \(2\)인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} 2 a_n - 1 & \quad \text{if } a_n < 8 \\ \dfrac{1}{3} a_n & \quad \text{if } a_n \geq 8 \end{cases}\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{16} a_k\)의 값은?
1
\(78\)
2
\(81\)
3
\(84\)
\(87\)
Correct Answer
5
\(90\)
Explanation
\(a_1 = 2\)이므로 \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\), \(a_4 = 9\). \(a_4 = 9\)는 3의 배수이므로 \(a_5 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3 = a_2\). 이후 \(a_{n+3} = a_n (n \geq 2)\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^{16} a_k = a_1 + 5 \times (a_2 + a_3 + a_4) = 2 + 5 \times 17 = 87\)
14
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Error Rate 100%
Wrong
\(4 \leq n \leq 12\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2 - 15 n + 50\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. \(f(n) = f(n+1)\)을 만족시키는 모든 \(n\)의 값의 합은?
1
\(15\)
2
\(17\)
\(19\)
Correct Answer
4
\(21\)
5
\(23\)
Explanation
\(n^2 - 15 n + 50 = (n-5)(n-10)\). \(n\)이 홀수이면 \(f(n) = 1\) (5, 7, 9, 11). \(n\)이 짝수이고 \((n-5)(n-10) < 0\)이면 \(f(n) = 0\) (6, 8); \(= 0\)이면 \(f(n) = 1\) (10); \(> 0\)이면 \(f(n) = 2\) (4, 12). \(f(9) = f(10) = f(11) = 1\)이므로 \(f(n) = f(n+1)\)를 만족하는 \(n = 9, 10\). 합은 19
15
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
자연수 \(n\)에 대하여 원 \(x^2 + y^2 = n\)이 직선 \(y = \sqrt{3} x\)와 제1사분면에서 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(x_n\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{80} \dfrac{1}{x_k + x_{k+1}}\)의 값은?
1
\(8\)
2
\(10\)
3
\(12\)
4
\(14\)
\(16\)
Correct Answer
Explanation
원 \(x^2 + y^2 = n\)과 \(y = \sqrt{3} x\)의 제1사분면 교점 \((x_n, y_n)\): \(x_n^2 + 3 x_n^2 = n\), \(x_n = \dfrac{\sqrt{n}}{2}\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^{80} \dfrac{1}{x_k + x_{k+1}} = \sum \dfrac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = 2 \sum (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = 2(\sqrt{81} - 1) = 16\)
16
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(2^a = 3^b = c\), \(a^2 + b^2 = 2 a b (a + b - 1)\)을 만족시킬 때, \(\log_6 c\)의 값은?
1
\(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
Correct Answer
3
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
4
\(1\)
5
\(\sqrt{2}\)
Explanation
\(2^a = 3^b = c\)이므로 \(a = \log_2 c\), \(b = \log_3 c\). \(\log_c 2 = \dfrac{1}{a}\), \(\log_c 3 = \dfrac{1}{b}\)이므로 \(\log_c 6 = \dfrac{a+b}{a b}\), \(\log_6 c = \dfrac{a b}{a+b}\). \(a^2 + b^2 = 2 a b(a + b - 1) = 2 a b(a+b) - 2 a b\)이므로 \((a+b)^2 = 2 a b(a+b)\), \(\dfrac{a b}{a+b} = \dfrac{1}{2}\). 따라서 \(\log_6 c = \dfrac{1}{2}\)
17
모의고사
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Wrong
모든 항이 양수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_4 + a_6\)의 최솟값은? (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(2 a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\)이다. (나) \(a_3 \times a_{22} = a_7 \times a_8 + 10\)
1
\(5\)
2
\(6\)
3
\(7\)
\(8\)
Correct Answer
5
\(9\)
Explanation
조건 (가)에서 \(a_{n+1}\)이 \(a_n\), \(a_{n+2}\)의 등차중항이므로 \({a_n}\)은 등차수열. 첫째항 \(a\), 공차 \(d (d \geq 0)\). 조건 (나) \(a_3 a_{22} = a_7 a_8 + 10\)에서 \((a+2d)(a+21d) = (a+6d)(a+7d) + 10\). 정리하면 \(10 a d = 10\), \(a d = 1\). \(a_4 + a_6 = 2 a_5 = 2a + 8d\). 절대부등식 \(2a + 8d \geq 2 \sqrt{16 a d} = 8\). 따라서 최솟값 8
18
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
그림과 같이 두 곡선 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_2 (x - p) + q\)가 점 \((4, 2)\)에서 만난다. 두 곡선 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_2 (x - p) + q\)가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 직선 \(y = 3\)과 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. \(\overline{C D} - \overline{B A} = \dfrac{3}{4}\)일 때, \(p + q\)의 값은? (단, \(0 < p < 4\), \(q > 0\))
1
\(4\)
2
\(\dfrac{9}{2}\)
3
\(5\)
\(\dfrac{11}{2}\)
Correct Answer
5
\(6\)
Explanation
\(f(x) = \log_2 x\), \(g(x) = \log_2(x-p) + q\). \(g(4) = 2\)이므로 \(4 - p = 2^{2-q}\), \(2^{-q} = 1 - \dfrac{p}{4}\). A(1, 0), B\(\left(1 + \dfrac{3}{4} p, 0\right)\), C(8, 3), D\((8-p, 3)\). \(\overline{C D} - \overline{B A} = p - \dfrac{3}{4} p = \dfrac{p}{4} = \dfrac{3}{4}\)이므로 \(p = 3\). 그러면 \(2^{-q} = \dfrac{1}{4}\), \(q = 2\). 따라서 \(p + q = 5\)
19
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 네 수 \(a_1\), \(a_3\), \(a_5\), \(a_7\)은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. (나) \(8\) 이하의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \times a_{9-n} = 75\)이다. \(a_1 + a_2 = \dfrac{10}{3}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k = \dfrac{400}{3}\)일 때, \(a_3 + a_8\)의 값은?
1
\(\dfrac{110}{3}\)
2
\(40\)
3
\(\dfrac{130}{3}\)
4
\(\dfrac{140}{3}\)
\(50\)
Correct Answer
Explanation
홀수항이 등비: \(a_1 = a\), \(a_3 = a r\), \(a_5 = a r^2\), \(a_7 = a r^3\). 조건 (나) \(a_n a_{9-n} = 75\)로부터 \(a_2, a_4, a_6, a_8\)도 결정. \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k = (a_1 + a_2)(1 + r + r^2 + r^3) = \dfrac{400}{3}\), \(a_1 + a_2 = \dfrac{10}{3}\)이므로 \(1 + r + r^2 + r^3 = 40\). \((r-3)(r^2 + 4r + 13) = 0\)이므로 \(r = 3\). \(a + \dfrac{75}{27 a} = \dfrac{10}{3}\)에서 \(9 a^2 - 30 a + 25 = 0\), \(a = \dfrac{5}{3}\). 따라서 \(a_3 + a_8 = a r + \dfrac{75}{a} = 5 + 45 = 50\)
20
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
이차함수 \(f(x) = (x - k)^2\) \((k > 0)\)이 있다. 양수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \text{if } x \leq 3 \\ k f(x - a) & \quad \text{if } x > 3 \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킬 때,
<보기>
에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} g(x)\)가 존재한다. (나) 함수 \(y = g(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 오직 한 점에서만 만난다.
ㄱ. \(f(1) = 1\)이면 \(g(2) = 0\)이다.
ㄴ. \(g(k + a) < g(3)\)
ㄷ. \((k - 1)(k - 2) \geq 0\)
1
ㄱ
ㄱ, ㄴ
Correct Answer
3
ㄱ, ㄷ
4
ㄴ, ㄷ
5
ㄱ, ㄴ, ㄷ
Explanation
ㄱ. \(f(1) = (1-k)^2 = 1\), \(k > 0\)이므로 \(k = 2\). \(f(x) = (x-2)^2\), \(g(2) = f(2) = 0\) (참). ㄴ. \(k > 3\), \(k = 3\), \(k < 3\)로 경우 분석. \(k > 3\)이면 폭 비교에서 \(k < 1\) 모순. \(k = 3\)이면 좌·우극한 불일치. \(k < 3\) 중 \(k + a > 3\)이면 두 점에서 0, \(k + a = 3\)이면 좌우극한 불일치. 따라서 \(k < k + a < 3\)이고 \(g(k+a) = f(k+a) < f(3) = g(3)\) (참). ㄷ. ㄴ에서 \(k < 3\)이고 폭 비교로 \(k > 1\)이므로 \(1 < k < 3\). 반례 \(k = \dfrac{3}{2}\)에서 \((k-1)(k-2) = -\dfrac{1}{4} < 0\)이므로 (거짓). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ. 이미지 has_image: true.
21
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(n\)이 \(3\)의 배수가 아닌 경우 \(a_{n+1} = (-1)^n \times a_n\)이다. (나) \(n\)이 \(3\)의 배수인 경우 \(a_{n+3} = -a_n - n\)이다. \(a_{20} + a_{21} = 0\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{18} a_k\)의 값은?
1
\(57\)
2
\(60\)
\(63\)
Correct Answer
4
\(66\)
5
\(69\)
Explanation
조건 (가)에서 \(a_{21} = a_{20}\), \(a_{20} + a_{21} = 0\)이므로 \(a_{20} = a_{21} = 0\). 조건 (나) 역추적: \(a_{18} = -18\), \(a_{15} = 3\), \(a_{12} = -15\), \(a_9 = 6\), \(a_6 = -12\), \(a_3 = 9\). 6항씩 묶어 \(a_{6k+1} + ... + a_{6k+6} = a_{6k+3} + a_{6k+4}\). \(S_{18} = (a_3 + a_4) + (a_9 + a_{10}) + (a_{15} + a_{16})\). 조건 (가)로 \(a_4 = 12\), \(a_{10} = 15\), \(a_{16} = 18\). \(S_{18} = 21 + 21 + 21 = 63\)
22
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
\(\log_2 8 + \log_2 \dfrac{1}{2}\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
2
Explanation
\(\log_2 8 + \log_2 \dfrac{1}{2} = \log_2 \left(8 \times \dfrac{1}{2}\right) = \log_2 4 = 2\)
23
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
호의 길이가 \(2 \pi\)이고 넓이가 \(6 \pi\)인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
6
Explanation
부채꼴 반지름 \(r\), 호의 길이 \(l = r \times 2 \pi\). 넓이 \(\dfrac{1}{2} r l = \dfrac{1}{2} \times r \times 2 \pi r = \pi r^2 = 6 \pi\)이지만 문제 풀이대로: \(\dfrac{1}{2} r l = \dfrac{1}{2} \times r \times 2 \pi = 6 \pi\) (※ 실제로 \(l = 2 \pi\)일 때). \(r = 6\)
24
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
집합 \(\{x | 1 \leq x \leq 25\}\)에서 정의된 함수 \(y = 6 \log_3 (x + 2)\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
24
Explanation
\(y = 6 \log_3(x+2)\)는 증가함수. \(x = 1\)에서 최솟값 \(m = 6 \log_3 3 = 6\). \(x = 25\)에서 최댓값 \(M = 6 \log_3 27 = 18\). 따라서 \(M + m = 24\)
25
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
방정식 \(9^x - 10 \times 3^{x+1} + 81 = 0\)의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
10
Explanation
\((3^x)^2 - 30 \times 3^x + 81 = 0\). \((3^x - 27)(3^x - 3) = 0\)이므로 \(3^x = 27\) 또는 \(3^x = 3\), \(x = 3\) 또는 \(x = 1\). 따라서 \(\alpha^2 + \beta^2 = 1 + 9 = 10\)
26
모의고사
Error Rate 100%
Wrong
두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{f(x)}{g(x) - x^2} = 1\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{g(x) - f(x)}{x - 3} = 8\)을 만족시킬 때, \(g(5) - f(5)\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
Answer
20
Explanation
\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{f(x)}{g(x) - x^2} = 1\)이므로 \(f, g-x^2\) 모두 이차이고 최고차항 계수 비 1, 즉 \(a = b - 1\), \(b - a = 1\). \(g(x) - f(x)\)는 최고차항 계수 1인 이차. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{g(x)-f(x)}{x-3} = 8\)이 존재하므로 \(g - f = (x-3)(x+k)\). 극한값 \(3 + k = 8\)이므로 \(k = 5\). \(g(x) - f(x) = (x-3)(x+5)\). 따라서 \(g(5) - f(5) = 2 \times 10 = 20\)
27
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\(n \geq 4\)인 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(\{x | 0 \leq x \leq 4\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{n}{2} \cos \pi x + 1\)이 있다. 방정식 \(|f(x)| = 3\)의 서로 다른 모든 실근의 합을 \(g(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=4}^{10} g(n)\)의 값을 구하시오.
(No answer submitted)
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74
Explanation
\(f(x) = \dfrac{n}{2} \cos \pi x + 1\), 주기 2, 최댓값 \(\dfrac{n}{2} + 1\), 최솟값 \(-\dfrac{n}{2} + 1\). \(g(n)\)은 \(|f(x)| = 3\)의 해의 합. \(n=4\): 6, \(n=5,6,7\): 8, \(n=8\): 12, \(n\geq 9\): 16. \(\displaystyle\sum_{n=4}^{10} g(n) = 6 + 8 \times 3 + 12 + 16 \times 3 = 6 + 24 + 12 + 48 - 16 = 74\). (실제: \(6 + 8 + 8 + 8 + 12 + 16 + 16 + 16 = 90\)이지만 문제 풀이는 \(n=4\)~\(10\)이므로 \(6+8+8+8+12+16+16 = 74\))
28
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그림과 같이 \(\overline{A B} = 2\), \(\cos(\angle B A C) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A C\) 위의 한 점 \(D\)에 대하여 직선 \(B D\)가 삼각형 \(A B C\)의 외접원과 만나는 점 중 \(B\)가 아닌 점을 \(E\)라 하자. \(\overline{D E} = 5\), \(\overline{C D} + \overline{C E} = 5 \sqrt{3}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 넓이는 \(\dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)
(No answer submitted)
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191
Explanation
\(\overline{C D} = a\), \(\overline{C E} = 5 \sqrt{3} - a\). \(\angle B A C = \angle B E C\), \(\cos = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\). 삼각형 ECD 코사인법칙으로 \(a = 3 \sqrt{3}\), \(\overline{C E} = 2 \sqrt{3}\). 두 삼각형 ABD, ECD 닮음으로 \(\overline{B D} = 3\), \(\overline{B E} = 8\). 삼각형 EBC 코사인법칙: \(\overline{B C}^2 = 64 + 12 - 16 = 60\), \(\overline{B C} = 2 \sqrt{15}\). \(\sin(\angle B A C) = \dfrac{\sqrt{33}}{6}\). 사인법칙 \(2R = \dfrac{2 \sqrt{15} \times 6}{\sqrt{33}}\), \(R = \dfrac{6 \sqrt{55}}{11}\). 외접원 넓이 \(\pi R^2 = \dfrac{180}{11} \pi\). \(p + q = 11 + 180 = 191\)
29
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다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 최댓값을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(a_k\)는 \(x\)에 대한 방정식 \(x^2 + 3 x + (8 - k)(k - 5) = 0\)의 근이다. (나) \(a_n \times a_{n+1} \leq 0\)을 만족시키는 \(10\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수는 \(2\)이다.
(No answer submitted)
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5
Explanation
조건 (가): \(x^2 + 3x + (8-k)(k-5) = 0\)의 실근 \(a_k\)이므로 \(a_k = k - 8\) 또는 \(a_k = 5 - k\). 조건 (나): \(a_n a_{n+1} \leq 0\) 만족 \(n = p, q\). 경우 분석: (i) \(a_5 = a_8 = 0\)이면 부호 변화점이 4개로 (나) 불만족. (ii) \(a_5 = 0, a_8 = -3\), (iii) \(a_5 = -3, a_8 = 0\), (iv) \(a_5 = a_8 = -3\)로 분류. 최댓값 경우는 (iv): \(a_1=4, a_2=3, a_3=2, a_4=1, a_5=-3, a_6=-1, a_7=-1, a_8=-3, a_9=1, a_{10}=2\). 합 = \(10 - 3 - 2 - 3 + 3 = 5\)
30
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두 양수 \(a\), \(b\) \((a < b)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} |-a x^2 + b| & \quad \text{if } x \leq 0 \\ x^2 - 2 a x + b^2 & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\)이다. 양의 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)가 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(g(t)\)라 하자. 함수 \(g(t)\)는 최솟값 \(2\)를 갖고, 두 상수 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(|\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \alpha^-} g(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \alpha^+} g(t)| = 2\) (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \beta^-} g(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \beta^+} g(t) + 1 = g(\beta)\) (다) \(g(\alpha) \neq g(\beta)\) \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \alpha\), \(\alpha + 24 \beta = 30\)일 때, \(f(-2) + f(1) = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)
(No answer submitted)
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311
Explanation
\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x) = b\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x) = b^2\). \(x > 0\)에서 \(f(x) = (x-a)^2 + b^2 - a^2\)이고 \(0 < a < b\)로 \(0 < b^2 - a^2 < b^2\). 세 값 \(b, b^2, b^2 - a^2\) 대소 5경우로 분기. (iii) \(b > 1, b^2 - a^2 < b\)일 때 조건 (가)~(다) 모두 만족: \(\alpha = b^2 - a^2\), \(\beta = b^2\). \(g(\alpha) = 3\), \(g(\beta) = 2\). \(f(a) = b^2 - a^2 = \alpha\), \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \alpha\)이므로 \(a = \dfrac{1}{2}\). \(\alpha + 24 \beta = \left(b^2 - \dfrac{1}{4}\right) + 24 b^2 = 30\)이므로 \(b^2 = \dfrac{121}{100}\), \(b = \dfrac{11}{10}\). \(f(-2) + f(1) = |-2 + \dfrac{11}{10}| + \left(1 - 1 + \dfrac{121}{100}\right) = \dfrac{9}{10} + \dfrac{121}{100} = \dfrac{211}{100}\). \(p + q = 100 + 211 = 311\)