\(\sqrt[4]{3} \times 3^{\dfrac{3}{4}} = 3^{\dfrac{1}{4}} \times 3^{\dfrac{3}{4}} = 3^{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 3\)

\(f'(x) = 3x^2 + 1\) \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} (f(1+h) - f(1))/h = f'(1) = 4\)

등비수열 \({a_n}\)의 첫째항을 \(a (a > 0)\), 공비를 \(r (r > 0)\)이라 하면 \(a_n = a r^{n-1}\). \(a_1 \times a_{13} = a \times a r^{12} = a^2 r^{12} = (a r^6)^2 = 64\)이므로 \(a r^6 = 8\) ⋯① \(\dfrac{a_5}{a_2} = \dfrac{a r^4}{a r} = r^3 = 2\) ⋯② ①, ②를 연립하면 \(r^3 = 2\)이고 \(a r^6 = a (r^3)^2 = 4a = 8\)이므로 \(a = 2\). 따라서 \(a_4 = a r^3 = 2 \times 2 = 4\)

함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속이므로 \(x = 2\)에서 연속이다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} f(x) = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2-} (a x^3 - 5) = 8a - 5\) \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2+} f(x) = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2+} (a x + 1) = 2a + 1\) \(f(2) = 2a + 1\)이고 \(8a - 5 = 2a + 1\)이므로 \(6a = 6\), 따라서 \(a = 1\)

\(g(x) = (x^2 - 1) f(x)\)이므로 \(g'(x) = 2x f(x) + (x^2 - 1) f'(x)\). \(g'(1) = 2 f(1) + 0 \times f'(1) = 2 \times 5 = 10\)

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta\), \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta\)이므로 \(\cos \theta + \sin \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\). \((\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \dfrac{1}{5}\) 따라서 \(\sin \theta \cos \theta = -\dfrac{2}{5}\)

\(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t) d t = x f(x) - x^3\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = f(x) + x f'(x) - 3x^2\)이므로 \(f'(x) = 3x\) \(f(x) = \dfrac{3}{2} x^2 + C\) (C는 적분상수) \(x = 1\)일 때 \(0 = f(1) - 1\)이므로 \(f(1) = 1\). 따라서 \(\dfrac{3}{2} + C = 1\), \(C = -\dfrac{1}{2}\). \(f(x) = \dfrac{3}{2} x^2 - \dfrac{1}{2}\) \(f(2) = 6 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{11}{2}\)

\(\log_2 a + \log_4 (a b) = \log_4 a^2 + \log_4 (a b) = \log_4 (a^3 b) = \dfrac{5}{2}\) \(a^3 b = 4^{\dfrac{5}{2}} = 2^5 = 32\) \(a\), \(b\)가 1이 아닌 자연수이고 \(32 = 2^3 \times 4\)이므로 \(a = 2\), \(b = 4\). 따라서 \(a + b = 6\)

\(f(0) - f(-1) = \displaystyle\int_{-1}^0 f'(x) d x\)이므로 \(f(0) - f(-1) + \displaystyle\int_{0}^{1} {x^2 + 2x + f'(x)} d x\), \(= \displaystyle\int_{-1}^0 f'(x) d x + \displaystyle\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) d x + \displaystyle\int_{0}^{1} f'(x) d x\), \(= \displaystyle\int_{-1}^1 f'(x) d x + \displaystyle\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) d x\), \(= 0 + [\dfrac{1}{3} x^3 + x^2]_0^1 = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3}\)

\(f(x) = \begin{cases} 3 \sin(\pi x) + 4 & \quad \text{if } 0 \leq x < 1 \\ 9 \sin(\pi x) + 4 & \quad \text{if } 1 \leq x < 2 \end{cases}\) 두 함수의 주기는 \(2 \dfrac{\pi}{\pi} = 2\). \(0 \leq x < 1\)에서 \(y = 3 \sin(\pi x) + 4\)의 치역은 \([4, 7]\), \(1 \leq x < 2\)에서 \(y = 9 \sin(\pi x) + 4\)의 치역은 \([-5, 4]\). 그래프의 개형을 분석하면 \(y\)좌표가 자연수인 점의 개수는 13개.

두 점 P, Q 사이 거리는 \(|x_1 - x_2| = |t^3 - \dfrac{15}{2} t^2 + 12 t + 10|\). \(f(t) = t^3 - \dfrac{15}{2} t^2 + 12 t + 10\)이라 하면 \(f'(t) = 3 t^2 - 15 t + 12 = 3 (t - 1)(t - 4)\). \(t \geq 0\)에서 \(f\)의 최솟값은 \(f(4) = 64 - 120 + 48 + 10 = 2 > 0\). 따라서 \(|x_1 - x_2| = f(t)\)이고 \(t = 4\)에서 최소. 점 P의 속도 \(v(t) = 3 t^2 - 10 t + 10\), 가속도 \(a(t) = 6 t - 10\). \(a(4) = 24 - 10 = 14\)

등차수열 \({a_n}\)의 공차를 \(d\)라 하면 \(a_3 = 1 + 2d\), \(a_6 = 1 + 5d\). 조건에서 \(b_9 = b_8 + 1 = a_6 + a_3 + b_3 + 4\)이므로 \(b_9 - b_3 = a_6 + a_3 + 4 = 7d + 6 = 27\), 따라서 \(d = 3\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = (10 \times {2 \times 1 + 9 \times 3})/2 = (10 \times 29)/2 = 145\)

\(g(x)\)가 \(x = 0\)에서 연속이고 \(g(0) = f(0) = 5\)이므로 \(f(a) + b = 5\), 즉 \(a^2 - 4a + b = 0\) ⋯①. \(f(x) = (x - 2)^2 + 1\)이므로 \(f\)는 \(x = 2\)에서 최솟값 1을 갖고, \(f(x + a) + b\)는 \(x = 2 - a\)에서 최솟값 \(1 + b\). \(|\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k+} h(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k-} h(t)| = 2\)를 만족시키는 \(k\)가 1, 4, 5인 경우는 \(2 - a < 0\) (즉 \(a > 2\)), 그래프 분석으로 \(g(2 - a) = 1 + b = 4\), \(b = 3\). ①에서 \(a^2 - 4a + 3 = 0\), \((a-1)(a-3) = 0\). \(a > 2\)이므로 \(a = 3\). \(g(-4) = f(-4 + 3) + 3 = f(-1) + 3 = 10 + 3 = 13\)

직선 \(l\)과 직선 BP가 수직이므로 BP는 원 O의 지름. 원 중심 O, AO와 BC의 교점 D. \(\overline{\text{AO}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{BO}}^2 = 144 + 18 = 162\), \(\overline{\text{AO}} = 9 \sqrt{2}\). 삼각형 AOB 넓이: \(\dfrac{1}{2} \times 9 \sqrt{2} \times \overline{\text{BD}} = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 3 \sqrt{2}\)이므로 \(\overline{\text{BD}} = 4\), \(\overline{\text{BC}} = 8\). 원주각 성질: \(\angle \text{BPQ} = \angle \text{BCQ}\), \(\angle \text{QPC} = \angle \text{QBC}\). \(\sin(\angle \text{BCQ}) : \sin(\angle \text{QBC}) = 3:1\). 사인법칙에서 \(\overline{\text{BQ}} : \overline{\text{QC}} = 3 : 1\). \(\overline{\text{QC}} = k\), \(\overline{\text{BQ}} = 3k\). \(\angle \text{BCP} = \dfrac{\pi}{2}\)이므로 직각삼각형 BCP에서 \(\sin \theta = 8/(6 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2})/3\), \(\cos \theta = \dfrac{1}{3}\). 사각형 BQCP가 원에 내접하므로 \(\angle \text{CQB} = \pi - \theta\), \(\cos(\angle \text{CQB}) = -\dfrac{1}{3}\). 코사인법칙: \(64 = k^2 + 9k^2 + 2k^2 = 12 k^2\), 따라서 \(k^2 = \dfrac{16}{3}\). 삼각형 BQC 넓이 \(= \dfrac{1}{2} \times 3k \times k \times (2 \sqrt{2})/3 = k^2 \sqrt{2} = (16 \sqrt{2})/3\)

\(g(x) = \begin{cases} |x^2 + a x + b| - x^2 & \quad \text{if } x \leq 0 \\ (x^2 + a x + b)^2 + x^3 & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\) 조건 분석을 통해 \(b < 0\)이어야 하고, \(x = 0\)에서 연속·미분가능해야 함. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0-} g(x) = |b| = -b\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0+} g(x) = b^2\), \(g(0) = -b\)이므로 \(-b = b^2\). \(b < 0\)이므로 \(b = -1\). \(x = 0\)에서 미분계수: 좌측 \(-a\), 우측 \(-2a\). \(-a = -2a\)이므로 \(a = 0\). \(g(x) = \begin{cases} |x^2 - 1| - x^2 & \quad \text{if } x \leq 0 \\ (x^2 - 1)^2 + x^3 & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\) \(g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = |\dfrac{1}{4} - 1| - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\) \(g(3) = (9 - 1)^2 + 27 = 64 + 27 = 91\) \(g\left(-\dfrac{1}{2}\right) + g(3) = \dfrac{1}{2} + 91 = \dfrac{183}{2}\)

\(2 \log_3 (x + 1) = \log_3 (x + 7)\) \(\log_3 (x + 1)^2 = \log_3 (x + 7)\) \((x + 1)^2 = x + 7\), \(x^2 + x - 6 = 0\), \((x + 3)(x - 2) = 0\) \(x = -3\) 또는 \(x = 2\). 진수 조건 \(x > -1\)이므로 \(x = 2\)

\(f(x) = \int f'(x) d x = \int (6 x^2 + 1) d x = 2 x^3 + x + C\) \(f(0) = C = 2\)이므로 \(f(x) = 2 x^3 + x + 2\) \(f(1) = 2 + 1 + 2 = 5\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (2 a_{k+1} - b_k) = 2 \displaystyle\sum_{k=1}^{19} a_{k+1} - \displaystyle\sum_{k=1}^{19} b_k = 150\) ⋯① \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (a_{k+1} + b_k) = \displaystyle\sum_{k=1}^{19} a_{k+1} + \displaystyle\sum_{k=1}^{19} b_k = 330\) ⋯② ①+②: \(3 \displaystyle\sum_{k=1}^{19} a_{k+1} = 480\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} a_{k+1} = 160\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{19} a_{k+1} = 3 + 160 = 163\)

최고차항 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = f(-x)\)를 만족시키므로 \(f(x) = x^4 + a x^2 + b\). \(f'(x) = 4 x^3 + 2 a x\). \(x = 2\)에서 극솟값 \(-6\)이므로 \(f'(2) = 32 + 4a = 0\), \(a = -8\). \(f(2) = 16 - 32 + b = -6\)이므로 \(b = 10\). \(f(x) = x^4 - 8 x^2 + 10\), \(f'(x) = 4 x (x + 2)(x - 2)\). 극댓값은 \(f(0) = 10\)

\(g(x) = \begin{cases} 2^{x+1} & \quad \text{if } x < 4 \\ 2 f(x) & \quad \text{if } x \geq 4 \end{cases}\) \(x < 4\)일 때 \(y = 2^{x+1}\)은 \(y = 0\)을 점근선. \(x \geq 4\)일 때 \(y = 2 f(x)\)는 \(y = 2b\)를 점근선. 조건을 만족하기 위해 \(2 b = 32\)이므로 \(b = 16\). \(2 f(4) = -2^{a-3} + 32 = 0\)이므로 \(2^{a-3} = 32 = 2^5\), \(a = 8\). \(g(x) = \begin{cases} 2^{x+1} & \quad \text{if } x < 4 \\ -2^{-x+9} + 32 & \quad \text{if } x \geq 4 \end{cases}\) \(g(6) = -2^3 + 32 = 24\)

\(f'(x) = -2x + k\). 점 \(A(a, f(a))\)에서 접선 \(y = g(x) = (-2a + k)(x - a) + (-a^2 + k a) = (-2a + k) x + a^2\). \(g(x) = 0\)일 때 \(x = a^2/(2a - k) = b\). 직선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축 교점 B. \(\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) d x = S\) (삼각형 AOH 넓이)이므로 삼각형 BAH 넓이 = AOH 넓이. 점 H(a, 0), \(\overline{\text{OH}} = \overline{\text{BH}}\), 즉 \(b = 2a\). \(a^2/(2a - k) = 2a\)이므로 \(k = (3 a)/2\). \(\displaystyle\int_{0}^{a} {f(x) - \dfrac{1}{2} a x} d x = \displaystyle\int_{0}^{a} (-x^2 + a x) d x = [-\dfrac{1}{3} x^3 + \dfrac{1}{2} a x^2]_0^a = -\dfrac{1}{3} a^3 + \dfrac{1}{2} a^3 = a^3/6 = \dfrac{32}{3}\) \(a^3 = 64\), \(a = 4\), \(k = 6\). \(g(x) = -2 x + 16\), \(g(-k) = g(-6) = 12 + 16 = 28\)

\(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\)에서 \(a_n\), \(a_{n+1}\)이 모두 홀수이면 \(a_{n+2}\)가 짝수. 연속 세 항 중 적어도 하나는 짝수. 경우 (i) \(a_4\)가 짝수: \(a_6 = 6 = \dfrac{a_4}{2}\)이므로 \(a_4 = 12\). 조건 (나)에 의해 \(a_2\), \(a_3\), \(a_5\)는 홀수, \(a_1\)은 짝수. \(a_3 = \dfrac{a_1}{2}\), \(a_2 = 12 - \dfrac{a_1}{2}\) (홀수). \(\dfrac{a_1}{2}\)이 11 이하 홀수: \(a_1 \in \{2, 6, 10, 14, 18, 22\}\). 합 = 72. 경우 (ii) \(a_4\)가 홀수: \(a_5 + a_4 = 6\), \(a_3\)은 짝수, \(a_5 = \dfrac{a_3}{2}\), \(a_4 = 6 - \dfrac{a_3}{2}\). \(a_2\)는 홀수, \(a_3 = 4 - 2 \dfrac{a_2}{3}\). \(a_2 = 3\), \(a_3 = 2\). \(a_1\)이 홀수면 \(a_3 = a_2 + a_1\)에서 모순. \(a_1\) 짝수: \(a_3 = \dfrac{a_1}{2} = 2\), \(a_1 = 4\). 모든 \(a_1\)의 합: \((2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22) + 4 = 72 + 4 = 76\)

중복순열 \({}_4 \Pi_3 = 4^3 = 64\)

두 사건 A, B가 배반이므로 \(P(A \cap B) = 0\). \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{9}{10}\) \(P(B) = \dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)

전체 경우의 수: \({}_{12} C_2 = 66\). 8의 약수는 1, 2, 4, 8 — 총 4개. 8의 약수가 아닌 수는 8개. 둘 다 8의 약수가 아닐 경우의 수: \({}_8 C_2 = 28\). 적어도 하나가 8의 약수일 확률 \(= 1 - \dfrac{28}{66} = \dfrac{38}{66} = \dfrac{19}{33}\)

\((2 + x)^5\)의 일반항: \({}_5 C_r \times 2^{5-r} \times x^r\). \((1 + a x)(2 + x)^5\)의 \(x^3\) 계수: \(\text{_5 C_3 \times 2^2 + a \times }_5 C_2 \times 2^3 = 40 + 80 a\) \(x^4\) 계수: \(\text{_5 C_4 \times 2 + a \times }_5 C_3 \times 2^2 = 10 + 40 a\) 합: \(50 + 120 a = 290\)이므로 \(a = 2\)

\(P(X = k+2) - P(X = k) = (-1)^k/4\) \(k = 1\): \(P(X=3) - P(X=1) = -\dfrac{1}{4}\) \(k = 2\): \(P(X=4) - P(X=2) = \dfrac{1}{4}\) \(P(X=1) = a\), \(P(X=2) = b\)라 하면 \(P(X=3) = a - \dfrac{1}{4}\), \(P(X=4) = b + \dfrac{1}{4}\). 확률 합 = 1: \(2a + 2b = 1\), \(a + b = \dfrac{1}{2}\) ⋯① \(E(X) = a + 2b + 3\left(a - \dfrac{1}{4}\right) + 4\left(b + \dfrac{1}{4}\right) = 4a + 6b + \dfrac{1}{4} = \dfrac{21}{8}\)이므로 \(4a + 6b = \dfrac{19}{8}\) ⋯② ①, ② 연립: \(a = \dfrac{5}{16}\), \(b = \dfrac{3}{16}\). \(P(X = 1) = \dfrac{5}{16}\)

\(f(f(n)) = n\) (\(n \in \{4, 5, 6\}\))을 만족시키려면 \(f(n) = n\) 또는 \(f(n) = m, f(m) = n\) \((n \neq m)\). 조건 (가)에서 \(f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq ...\) 경우 (i) \(f(4) < 4\): 모순 (조건 가). 경우 (ii) \(f(4) = 4\): \(f(1), f(2), f(3)\) 선택 = \(\text{_4 H_3 = }_6 C_3 = 20\). ① \(f(5) = 5, f(6) = 6\): 20가지. ② \(f(5) = 6, f(6) = 5\): 20가지. 소계 40. 경우 (iii) \(f(4) = 5\): \(f(1), f(2), f(3) \leq 5\)이므로 \(\text{_5 H_3 = }_7 C_3 = 35\). \(f(5) = 4\), \(f(6) = 6\). 소계 35. 총합: \(40 + 35 = 75\)

\(X tilde N(80, 5^2)\). \(P(b \leq X \leq 75)\)를 표준화: \(P((b-80)/5 \leq Z \leq -1) = P(1 \leq Z \leq (80-b)/5) = P(0 \leq Z \leq (80-b)/5) - 0.3413 = 0.1359\) \(P(0 \leq Z \leq (80-b)/5) = 0.4772\)이므로 \((80-b)/5 = 2\), \(b = 70\). \(Y = -2X + a\)이므로 \(E(Y) = a - 160\), \(\sigma(Y) = 10\), \(Y tilde N(a-160, 10^2)\). \(P(a-160 \leq Y \leq 70) = P(0 \leq Z \leq (230-a)/10) = 0.4332\) \((230-a)/10 = 1.5\)이므로 \(a = 215\). \(a + b = 215 + 70 = 285\)

사건 X: 같은 숫자 카드가 있음, Y: 숫자 4 카드 개수 = 2.

(I) \(k\)가 3의 배수: 각 주머니에서 2장씩 꺼냄. 전체 \(\text{_4 C_2 \times }_4 C_2 = 36\). 같은 숫자 1쌍 = \(\text{_3 C_1 \times (}_3 C_1 \times {}_3 C_1 - 2) = 21\), 2쌍 = \({}_3 C_2 = 3\). P(X	3배수) = \(\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\). 확률 \(= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{9}\).

(II) \(k\)가 3의 배수 아님: 각 주머니에서 1장씩. 전체 16, 같은 숫자 = 3. 확률 \(= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{16} = \dfrac{1}{8}\). \(P(X) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{16}{72} + \dfrac{9}{72} = \dfrac{25}{72}\). (i) 3의 배수, \(X \cap Y\): 같은 숫자가 4 한 쌍, 나머지 한 카드씩 = \(\text{_3 C_1 \times }_3 C_1 = 9\). 확률 \(= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{12}\). (ii) 3의 배수 아님, \(X \cap Y\): 두 4 카드 = 1. 확률 \(= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{24}\). \(P(X \cap Y) = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}\). \(P(Y|X) = \dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{25}{72}} = 72/(8 \times 25) = \dfrac{9}{25}\). \(p = 25\), \(q = 9\), \(p + q = 34\)